3.4.1 函数与方程名师教学设计1

函数与方程（教案）

郑彬

一、教学目标

知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握函数零点存在的判定条件．

情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想，转化思想和近似思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

二、教学重点

（1）对函数零点的概念理解； （2）函数零点存在性的判定

三、教学难点

函数零点的存在性的确定

四、教学过程

（一）知识梳理

1.函数的零点

(1)函数零点的定义

函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解. 2.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

3.二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系

2

二次函数y＝ax2Δ>0

Δ＝0

Δ<0 ＋bx＋c(a>0)的图像

与x轴的交点

零点个数

(x1,0)，(x2,0) 2

(x1,0)

1

无交点

0

（二）高考链接

x2(4a3)x3a,x0,1.【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在log(x1)1,x0aR上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）

（A）（0，12223] （B）[，] （C）[，]33334{123}（D）[，）334{3} 4【解析】：由f(x)在R上递减可知34a013由方程|f(x)|2x恰a，43a1,0a13112312，a，又∵a时，抛物线a334好有两个不相等的实数解，可知3a2,yx2(4a3)x3a与直线y2x相切，也符合题意，∴实数a的取值范围是123[,]{}，故选C. 334考点：函数性质综合应用

2x,x2,2.【2015高考天津，理8】已知函数fx

函数gxbf2x

，2x2,x2,其中bR，若函数yfxgx

恰有4个零点，则b的取值范围是( ) （A）7777, （B）, （C）0, （D）,2

4444

2x,x2,22x,x0【解析】由fx得，

f(2x)22x0x,x2,x2,2xx2,x0所以yf(x)f(2x)4x2x,0x2，

222x(x2),x2x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0x2

x25x8,x2yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,所以yfxgx恰有4个零点等价于方程

f(x)f(2x)b0有4个不同的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象的4个公共点，由图象可知7b2. 4864215105246851015

【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合. 【名师点睛】本题主要考查求函数解析式、函数与方程思想、数形结合思想以及学生的作图能力. 将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法. 考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力. 3.【2015高考江苏，13】已知函数f(x)|lnx|，g(x)0,0x1，则方程2|x4|2,x1|f(x)g(x)|1实根的个数为

【答案】4 【解析】由题意得：求函数yf(x)与y1g(x)交点个数以及函数yf(x)与

1,0x1y1g(x)交点个数之和，因为y1g(x)7x2,x2，所以函数yf(x)与x21,1x21,0x1y1g(x)有两个交点，又y1g(x)5x2,x2，所以函数yf(x)与x23,1x2y1g(x)有两个交点，因此共有4个交点.

（五）课堂练习

x1.(教材改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是(

) A.0

答案

B 1解析

∵f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，

e∴f(x)在(－1,0)内有零点，

又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点. 2.若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋e的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点(

) A.y＝f(－x)e－1 C.y＝f(x)e－1 答案

C 解析

可得f(x0)＝－ex0，则e－x0f(x0)＝－1，

即e－x0·f(－x0)＝1，则－x0一定是y＝ef(x)－1的零点. 13.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(

) xxxx

B.1

C.2

D.3 B.y＝f(x)e＋1 D.y＝f(x)e＋1 x－xxA.(0,1) C.(2,3) 答案

B B.(1,2) D.(3,4) 11解析

由于f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－>0，因此f(1)·f(2)<0，故由22零点存在性定理知函数f(x)在区间(1,2)内有零点.故选B. 【归纳与小结】

1.函数零点的判定常用的方法有

(1)零点存在性定理；

(2)数形结合：函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图像交点的横坐标. (3)解方程. 2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图像列不等式(组). 3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. 4.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像. 5.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.