实习作业第二课时教学设计

函数的单调性和导数

一、

内容与解析

（一）内容：函数的单调性和导数。

（二）解析：本节课要学的内容函数的单调性和导数指的是函数的单调性和导数符号关系,理解它关键就是要通过导数的几何意义来理解。学生已经学过导数，本节课的内容函数的单调性和导数就是在此基础上的发展。由于它是研究函数的重要方法,所以在本学科有重要的地位，并有奠定高等数学基础的作用,是本学科导数部分的核心内容。教学的重点是利用导数的求函数的单调区间，解决重点的关键是从具体实例出发，掌握求法。

二、

目标及其解析：

（一）教学目标

1.理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。

（二）解析

1.

理解利用导数判断函数的单调性的原理就是指导数符号与函数单调性的关系; 2.

掌握利用导数判断函数单调性的步骤就是根据函数单调的充要条件来求函数单调区间; 三、

问题诊断分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数单调的充要条件的理解，产生这一问题的原因是导数判断函数的单调性的原理中导数为0时,函数为常函数,而充要条件中导数可以为0。要解决这一问题，就要使学生知道区间当中部分点的导数为0不影响函数的单调性。

四、

教学过程：

【引

例】

1．确定函数yx4x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

解：yx4x3(x2)1，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。

问：1）、为什么yx4x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。

（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？

（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。来源学科网2222（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx4x3的单调区间也不容易。

【探

究】

2

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

问：如何入手？（图象）

从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？

1、研究二次函数yx24x3的图象；

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。

得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：

①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；

在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）

（1）

观察三次函数yx3的图象；（几何画板演示）

（2）

观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。

【新课讲解】

4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）

一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，则函数在该区间内

'如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的增函数；

'如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的减函数。

'若在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常函数。

来源学科网

这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。

小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。

结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：

【例题讲解】

例1、

求证：yx1在(,0)上是增函数。

由学生叙述过程老师板书：

3

因为

y'(x31)'2x2，x(,0)，

所以

x0，即y'0，

所以函数yx31在(,0)上是增函数。

注：我们知道yx31在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。

学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。

例2、

确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 由学生叙述过程老师板书：

解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x,

令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.

学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：

（1）

确定函数f(x)的定义域；

（2）

求函数f(x)的导数f′(x). （3）

令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. 令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间

2五、

目标检测[来源:Z.xx.k.Com]

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=x3－9x2+24x

(2)y=3x－x3

(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的

图象如图所示,

则yf(x)的图象最有可能是(

)

例1、

小结：重点

是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

六、

小结

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f

′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,

则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.