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指数函数习题课

一、要求：

（1）了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象. (4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 二、重点：有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 三、难点：指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象

四、知识梳理：

1. 根式

(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的

，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个

数，负数的n次方根是一个

数，这时a的n次方根用符号

表示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有

个，这两个数互为

.这时，正数a的正的n次方根用符号

表示，负的n次方根用符号

表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成

. ③负数没有偶次方根. ④0的n(n∈N*)次方根是

，记作

. (2)根式：式子na叫做根式，这里n叫做

，a叫做

. (3)根式的性质：n为奇数时，nan＝

；

n为偶数时，nan＝

. 2. 幂的有关概念及性质

(1)正整数指数幂：an＝

(n∈N*). (2)零指数幂：a0＝

.这里a

0. (3)负整数指数幂：a-n＝

(a≠0，n∈N*). (4)正分数指数幂：amn＝

(a＞0，m，n∈N*，且n＞1). (5)负分数指数幂：a-mn＝

(a＞0，m，n∈N*，且n＞1). (6)0的正分数指数幂等于

，0的负分数指数幂

. (7)有理指数幂的运算性质: 注：无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 3. 指数函数的图象及性质

五：例题分析

类型一

指数幂的运算

化简下列各式：

(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；

(2)a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷

×a•3a25a•3a.

【评析】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．

练习：计算：(1)823×100－12×14－3×1681－34；

(2)0.75－1×3212×63414＋10(3－2)－1＋1300－12＋1614.

类型二

指数型复合函数的定义域和值域

求下列函数的定义域和值域. (1)y＝23－|x＋1|；

(2)y＝2x2x＋1；

【评析】指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的定义域为R，所以y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则．

练习：求下列函数的定义域和值域. (1)y＝812x－1；

(2)y＝4x＋2x+1＋1；

(3)y＝12x2－6x＋17.

类型三

指数函数的图象及其应用

已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；

④b＜a＜0；⑤a＝b＝0.其中不可能成立的关系有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【评析】与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f(x)增(减)的快慢．

练习：函数f(x)＝ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)

A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

类型四

指数函数的综合问题

已知函数f(x)＝13x，x∈[－1，1]，函数g(x)＝f 2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a). (1)求h(a)；

(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：

①m＞n＞3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]. 若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.

【评析】解(1)题的关键在于利用换元思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．

练习：已知函数f(x)＝2x－12|x|. (1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.