2.2.1 函数的单调性优质课教案设计

函数的单调性与极值

徐秀莲

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一

引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

二

新课讲授

1 函数单调性

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数yx24x3的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y/>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y/0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数yx22x4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数y2x36x27的单调区间。

y

2

0 x

2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各

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点的函数值都小，我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)。

f(x4)

f(x1)

o a x X1 X2 X3 X4 b

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f(x)0。但反过来不一定。如函数yx3，在x0处，曲线的切线是水平的，但这点y 的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设x0使f(x0)0，那么x0在什么情况下是的极值点呢？

y

y

f



(x

0

)

f(x)0

f(x)0

f(x)0

f(x)0

f(x0)

o x

o a a X0 b X0 b x 如上左图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数，

2

即f(x)0，同理，如上右图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0，从而我们得出结论：若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。

例3 求函数y13x4x4的极值。

3

三

小结

1求极值常按如下步骤：

①

确定函数的定义域；

②

求导数；

③

求方程y/=0的根，这些根也称为可能极值点；

y o x ④

检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法) 四

巩固练习

1 确定下列函数的单调区间：

（1）y2x25x7

（2）y3xx3

2 求下列函数的极值

（1）yx27x6

（2）y2x25x

（3）yx327x

（4）y3x2x3

五

课堂作业

1 确定下列函数的单调区间：

（1）y4x2

（2）y(x1)2

（3）yx22x5

（4）yx3x2x

2 求下列函数的极值

（1）yx24x10

（2）y2x24x7

（3）yx33x21

（4）y612xx3

（5）y4x33x26x

（6）y2x2x4

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