探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系第二课时教案

3．2.2 函数模型的应用实例

[导入新知] 1．常见的函数模型

(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；

(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；

(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．

2．建立函数模型解决问题的框图表示

[化解疑难] 求解函数应用题的程序

1

二次函数模型

4

[例1] 已知某种商品涨价x成(1成＝10%)时，每天的销售量减少x(其中x>0)成．

5(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？

(2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x的取值范围．

[解] 设商品原价格为m，每天的原销售量为n，则每天的原营业额为m·n，涨价后每x4x天的营业额为y＝m·1＋·1－··n. 10510x4x(1)y＝m·1＋·1－··n

1051015281＝－x－＋·m·n. 1254805当x＝，即涨价125%时，每天的营业额最大．

4(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，

x4x则需m·1＋·1－··n＞m·n，

10510即2x－5x＜0，变形得x(2x－5)<0. 5又x>0，故0＜x＜. 225∴x的取值范围为0，. 2[类题通法] 利用二次函数模型解决问题的方法

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．

[活学活用] [活学活用] 如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

2

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解：(1)作PQ⊥AF于Q，

所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．

又△EPQ∽△EDF，

EQEFx－44所以＝，即＝. PQFD8－y21所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

2(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，

x12则S(x)＝xy＝x10－＝－(x－10)＋50，

22S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，

所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．

所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米.

分段函数模型

[例2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．

[解] (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；

当20＜x≤200时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，

200a＋b＝0，再由已知得20a＋b＝60，

1a＝－，3解得200b＝3.

故函数v(x)的表达式为

3

60，0≤x≤20，v(x)＝1－x，20＜x≤200.3(2)依题意并结合(1)可得

60x，0≤x≤20，f(x)＝1x－x，20＜x≤200.3

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；

1110 00010 0002当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)＋≤，当且仅当x3333＝100时，等号成立．

10 000所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 3综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 000≈3 333.

3即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．

[类题通法] 构建分段函数模型的关键点

建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．

[活学活用] 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？

6t，0≤t≤1，解：(1)依题意得y＝220－t＋，1＜t≤10.33

220(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次33服药应在11：00. 设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药220220量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00. 3333设第四次服药在第一次服药后t3(t3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液

4

220220中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四3333次服药应在20：30. 指数、对数型函数模型

[例3] 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减a1少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今24年为止，森林面积为(1)求p%的值．

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)该森林今后最多还能砍伐多少年？

[解] (1)由题意得a(1－p%)＝，

21110即(1－p%)＝，解得p%＝1－22(2)设经过m年森林面积为m102a. 2a110. 2a，

2m211则a(1－p%)＝a，即10＝2，

2221＝，解得m＝5. 102故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年

，n年后森林面积为

2a·(1－p%)n. 2令21a(1－p%)n≥a，

24n1m即(1－p%)≥n2，

4110≥12，得n≤3，解得n≤15，

22102故今后最多还能砍伐15年．

[类题通法] 指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模3

5

型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

[活学活用] 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每1过滤一次可使杂质含量减少，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知： lg 23＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 22n12n1解：依题意，得·≤，即≤. 10031 000320则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，

1＋lg 2故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

lg 3－lg 2

x

8.构建函数模型解应用题

[典例] (12分)甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．

甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只；

乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个．

请你根据提供的信息说明：

(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数．

(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由．

6

(3)哪一年的规模最大？说明理由．

[解题流程]

[活学活用] 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：

销售单价x/元

日销售量y/件

30

60

40

30

45

15

50 0 (1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，

7

并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．

解：实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．

(1)设f(x)＝kx＋b，

60＝30k＋b，则30＝40k＋b，解得k＝－3，b＝150.

∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．

(2)P＝(x－30)·(－3x＋150) ＝－3x＋240x－4 500,30≤x≤50，

∴对称轴x＝－240－＝40∈[30,50]．

2答：当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．

[随堂即时演练] 1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(

) A．y＝100x

C．y＝50×2 xB．y＝50x－50x＋100 D．y＝100

42x解析：选C 当x＝4时，A中，y＝400；B中，y＝700；C中，y＝800；D中，y＝100.故选C. 2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t(时)的函数解析式是(

) A．x＝60t

B．x＝150－50t

8

60t，0≤t≤2.5C．x＝150－50t，t>3.5

60t，0≤t≤2.5D．x＝150，2.5＜t≤3.5t－，3.5＜t≤6.5150－

解析：选D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．

13．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，3则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．

8113解析：y＝a·1－5，所以当x＝15时，y＝8 100×1－＝8 100×＝2 400(元)．

2733答案：2 400 4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费xy(元)与通话时间t(分)之间的函数关系图象，根据图象填空：

(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；

(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；

(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．

解析：(1)由题图可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．

(2)由题图可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．

(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，

3k＋b＝3.6，则5k＋b＝6，k＝1.2，解得b＝0.

故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．

答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)

5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

9

(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

解：设该店月利润余额为L元，

则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①

－2P＋50，14≤P≤20，由销量图易得Q＝3－P＋40，20

－2P＋P－L＝3－2P＋40P－－5 600，14≤P≤20，－5 600，20

(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；

1 25061当20

33故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．

(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫．

[课时达标检测] 一、选择题

1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是(

) A.

B.

111212mmC.m－1 D.11m－1 11解析：选D 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)＝ma，所以1＋x＝

11m，即x＝11m－1. 10

2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(

) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)

B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)

C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

解析：选C 由题意得y＝0.3(4 000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1 200. 3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(

)

(1)这几年生活水平逐年得到提高；

(2)生活费收入指数增长最快的一年是2013年；

(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2014年；

(4)虽然2015年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2013～2014年最陡；故(2)正确；“生活价格指数”在2014～2015年比较平缓，故(3)不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故(4)正确．

4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝4x，1≤x＜10，x∈N， 2x＋10，10≤x＜100，x∈N，1.5x，x≥100，x∈N，

其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(

) A．15 C．25 B．40 D．130 解析：选C 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题

11

意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．

5．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(

) A．[5,6) C．[6,7) B．(5,6] D．(6,7] 解析：选B 若按x(x∈Z)千米计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．

二、填空题

6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln1＋.当燃料质量是火箭质量mM的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

解析：当v＝12 000时，2 000·ln1＋＝12 000，

∴ln1＋＝6，∴＝e－1. mMmMMm6答案：e－1 7．一水池有2个进水口、1个出水口，2个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示．

6

给出以下3个论断：

①0点到3点只进水不出水；

②3点到4点不进水只出水；

12

③4点到6点不进水不出水．

其中一定正确的论断序号是________．

解析：从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故①正确；由排水速度知②正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故③不正确．

答案：①②

8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知1该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，2将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

1解析：由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；

2以后各年产量分别为

an＝f(n)－f(n－1) 11＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1) 22＝3n(n∈N)，

令3n≤150，得1≤n≤52⇒1≤n≤7，

故生产期限最长为7年．

答案：7 三、解答题

9．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．

(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，

所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．

(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．

租赁公司的月收益为y元，

22*y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，

其中x∈[0,100]，x∈N，

13

整理，得y＝－60x＋3 120x＋284 000 ＝－60(x－26)＋324 560，

当x＝26时，y＝324 560，

即最大月收益为324 560元．

此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．

10．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为2t(百件)时，销售所得的收入为5t－t万元．

2212(1)该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量x的函数f(x)，求f(x)；

(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大．

12x191解：(1)当x≤5时，f(x)＝5x－x－(0.25x＋0.5)＝－＋x－；

2242121当x>5时，f(x)＝5×5－×5－(0.25x＋0.5)＝12－x；

242242所以f(x)＝112－4x，x>5.x2191－＋x－，0

2

x21911192345(2)当0

24243219345故当x＝百件＝475件时，f(x)max＝(万元)；

43215345当x>5时，f(x)＝12－x<12－<. 4432故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．

11．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解：(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，

14

900，0＜x≤30，则y＝900－x－，30＜x≤75，

900，0＜x≤30，即y＝1 200－10x，30＜x≤75.(2)设旅行社获利S元，

900x－15 000，0＜x≤30，则S＝x－10x－15 000，30＜x≤75.900x－15 000，0＜x≤30，即S＝2－x－＋21 000，30＜x≤75.

因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，当x＝30时，S取最大值12 000，

又因为S＝－10(x－60)＋21 000在区间(30,75]上，

当x＝60时，S取最大值21 000. 故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．

2

15