2.1 轴对称与轴对称图形全国优秀课堂实录

轴对称

【教学目标】

1.知识与能力

（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．

（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．

（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．

2.过程与方法

在探索轴对称性质的过程中体会数学的美，在探索线段垂直平分线性质的过程中感受逻辑推理的严谨性．

3.情感、态度与价值观 培养学生的审美情趣，激发学生学习兴趣．

【教学重点】

（1）理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念，能够判断一个图形是否是轴对称图形．

（2）探索轴对称的性质，并能够利用轴对称的性质作轴对称图形．

（3）探索线段垂直平分线的性质，能够利用其解决相关问题．

【教学难点】轴对称、线段垂直平分线性质的探索．

【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．

【教学过程】

一、

创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形，归纳轴对称和轴对称图形的概念

活动1 我们生活在图形的世界中，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，（一边播放图片一边叙述）．无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造，还是日常生活中的图案的设计，甚至是照镜子，都和对称密不可分．

问题：观察下列几幅图片，大家观察后回答下列问题：（先出示建筑物、柳叶、蝴蝶、窗花等图片，然后出示投影片）．

（1）这些图形有什么共同的特征？

（2）你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？

学生活动设计：

学生观察图形，讨论其具有的共同特征，可以发现这些图形沿一条直线对折，直线两旁的部分可以互相重合，比如在生活中具有这种特征的物体有：飞机、风筝、汽车等．

教师活动设计：

经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．

归纳：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．

活动2 问题

出示图片（教材图12.1－3）下面的每对图形有什么共同特点？你能概括这些特点吗？

学生活动设计：

学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．

教师活动设计：

在学生交流的基础上，引导学生对轴对称的概念进行归纳．

把一个图形沿着某条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

之后教师引导学生对轴对称和轴对称图形进行讨论交流，加深理解：

轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．

轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

二、

主体探究、合作交流，探究轴对称图形的性质和线段垂直平分线的性质

活动3

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？

MAPA'BB'CNC'

学生活动设计：

学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合，于是有AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°，对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．

教师活动设计：

鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义：“经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线”，进而引导学生进行归纳：

轴对称的性质：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对

对应点的所连线段的垂直平分线”．

“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．

活动4 问题：如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离，你有什么发现？你能证明你的结论吗？

学生活动设计：

学生观察、操作、思考可以得出线段垂直平分线的性质，然后运用所学知识证明结论的正确性：根据条件OA=OB、∠AOP=∠BOP、OP=OP由SAS可以得出△AOP≌△BOP，于是得出AP=BP．

教师活动设计：

鼓励学生大胆猜测，然后验证自己的猜测，从而让学生体会数学的学习是“猜测－验证”过程．

引导学生进行归纳：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等．

活动5

问题

类比探究角平分线的性质的过程自行探究“到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．

引导学生归纳：如果两个图形成轴对称，其中对称轴就是任何一对对应点连线的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；对于轴对称图形也是类似．

三、应用提高、拓展创新

问题

如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？

AB

（学生在教师的引导下，利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线，然后由学生进行证明．）

问题

电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等。发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．

学生活动设计：

根据问题的条件和要求，可以发现发射塔必须修建在公路所成角的平分线上，同时还要在线段AB的垂直平分线上，只要作出角的平分线和线段AB的垂直平分线，两者的交点就是符合条件的点．

教师活动设计：

引导学生根据角平分线性质和线段垂直平分线性质寻找符合条件的点．

四、归纳小结、布置作业

小结：

1．轴对称、轴对称图形的概念；

2．轴对称、轴对称图形的性质；

3．线段垂直平分线的性质．

作业：习题12.1．

12.2

作轴对称图形

【教学目标】

1.知识与能力：

（1）能够作轴对称图形；

（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．

2.过程与方法：

在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系．

3.情感、态度与价值观： 培养学生的应用意识和探究精神．

【教学重点】

（1）能够作轴对称图形；

（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．

【教学难点】

用轴对称知识解决相应的数学问题．

【教学方法】

创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．

【教学过程】

一、

创设情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容

活动1

观察图片（教材中的图12.2－1～12.2－4）．

操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？

学生活动设计：

学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．

教师活动设计：

教师组织活动，引导学生作以下归纳：

（1）

由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；

（2）

新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；

（3）

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

活动2

问题

如图（1），已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？

BCBACAOlA'C'B'l

图（1）

图（2）

学生活动设计：

学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A、B、C关于直线l的对称点再连接就可以了．

教师活动设计：

在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图（2），作点A关于l的对称点的方法是：

（1）过A作l的垂线垂足为O；

（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．最后进行归纳．

几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

活动3

巩固练习：课本41页练习．

二、观察操作，主动探索，研究坐标系内的轴对称

活动4 问题

在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？

已知点

关于x轴对称的点

关于y轴对称的点

A(2，－3) B（－1，2）

C（－6，－5）

D（0.5，1）

E（4，0）

学生活动设计：

学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．

点（x，y）关于x轴对称的点的作标是（x，－y）；

点（x，y）关于y轴对称的点的作标是（－x，y）．

教师活动设计：

组织学生进行探索，观察猜测，然后进行归纳总结．

活动5 问题

如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．

CDy543C'D'A-5A''-4-3B-2B''-121O-1-2-31B'234A'x56D''C''-4

学生活动设计：

学生根据活动4中发现的规律，首先求出点A、B、C、D关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．

教师活动设计：

本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．

三、应用提高、拓展创新

问题

如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

教师和学生活动设计：

分组讨论，让学生探索：在街道上找一点C，使得AC+BC为最小．通过学生活动，使他们懂得：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．

学生自主探索其中的原因（原因：在直线l上取异于点C的点D，由于l垂直平分AA′，所以得到DA=DA′，所以DA+DB=DA′＋DB，根据两点之间线段最

短得到DA′＋DB＞A′B，而A′B＝A′C+BC=AC+BC，于是有AD+DB>AC+BC．）

四、归纳小结、布置作业

小结：

1．作轴对称图形；

2．用坐标表示轴对称．

作业：习题12.2

12.3.1

等腰三角形

【教学目标】

1.知识与能力

理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．

2.过程与方法

在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．

3.情感、态度与价值观 培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．

【教学重点】

理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．

【教学难点】

等腰三角形性质和判定的应用．

【教学方法】

创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．

【教学过程】

二、

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1 如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？

BADC

图（1）

学生活动设计：

学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．

教师活动设计：

让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：

ABC

图（2）

△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．

二、自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质

活动2 把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

重合的线段

重合的角

从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

学生活动设计：

学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质．

教师活动设计：

引导学生归纳：

性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

活动3

你能证明上述两个性质吗？

问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．

（1）

求证：∠B=∠C；

（2）

AD平分∠A，AD⊥BC．

ABDC

图（3）

学生活动设计：

学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，

于是可以证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．

教师活动设计：

让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性

ABAC〔解答〕在△ABD和△ACD中ADAD

BDCD所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．

巩固练习：第51页练习．

活动4 如图（4），位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

学生活动设计：

学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．

OACB

图（4）

学生活动设计：

教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．

最后归纳出等腰三角形的判定性质．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．

三、应用提高、拓展创新

问题1 如图（5），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．

ADBC

图（5）

学生活动设计：

学生小组合作、分组讨论，交流．

教师活动设计：

引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．

发现：

（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；

（2）∠A＝∠ABD；

（3）∠A＋2∠C＝180°．

若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．

〔解答〕略

问题2 如图（6），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证：AB=AC．

EA12DBC

图（6）

师生活动设计：

学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B=∠C即可，由AD//BC和AD平分∠EAC容易得到．

问题3 如图（7），在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

图（7）

师生活动设计：

通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质．可以发现：

〔解答〕证明：延长CD交AB的延长线于P，如图（7）．

在△ADP和△ADC中，

12

ADADADPADC∴△ADP≌△ADC，

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP

∴∠4=∠P，

∴∠4=∠ACD．

∴DE=CE．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

四、归纳小结、布置作业

小结：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．

作业：习题12.3 第1～7题．

12.3.2

等边三角形

【教学目标】

1.知识与能力：

理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．

2.过程与方法：

在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．

3.情感、态度与价值观： 培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．

【教学重点】

理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．

【教学难点】

等边三角形性质和判定的应用．

【教学方法】

创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．

【教学过程】

三、

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．

活动1 请你探索等边三角形的性质和判定方法．

学生活动设计：

学生独立思考，然后进行交流，在交流中完成：

（1）所有性质的探索；

（2）性质的证明．

教师活动设计：

让学生归纳所有性质，并证明所有的性质（可以口述）．

归纳：

等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

二、问题探究、巩固练习

活动2

问题

如图（1），兴趣小组在一次测量活动中测得∠APB＝60°，AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m．他们的结论对吗？

图（1）

学生活动设计：

学生在独立思考的基础上进行讨论，经过讨论可以发现，只需要证明△ABP是等边三角形即可．根据条件AP=BP知，此三角形是等腰三角形，又∠APB＝60°，可以得到三角形是等边三角形，进而可以得到AB＝200 m，所以兴趣小组的结论是正确的．

教师活动设计：

让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．另外本问题的解决方法不止一种，注意学生的不同解法（比如可以利用三个角相等的三角形是等边三角形）

〔解答〕略．

活动3 如图（2），在等边△ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，那么△ADE是等边三角形吗？为什么？

ADBEC

图（2）

学生活动设计：

学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，要证明△ADE是等边三角形可以有两种方法：

方法1

证明有两边相等，且有一个角是60°；

方法2

证明三个角都相等（是60°）．

对于方法1，根据条件容易得到，AD=AE且∠A＝60°于是结论成立；对于方法2由于不容易实现，学生可以课下思考．

教师活动设计：

鼓励学生大胆猜测结论，然后进行证明．

〔解答〕因为△ABC是等边三角形，

所以AB=AC，∠A＝60°．

又因为AD=AE，

所以△ADE是等边三角形．

活动4 如图（3），将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？你能证明你的结论吗？

ABCD

图（3）

学生活动设计：

学生观察图形，分析数量关系，发现∠BAD＝60°，而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD＝2BC，进而得到：

直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

然后进行证明．

教师活动设计：

鼓励学生寻找不同的解决问题的方法，上述可以是方法1，可能有如下方法，如图（4）．

ADBC

图（4）

作∠DCB＝60°，由于∠B＝60°，所以∠BDC＝60°，于是△BDC是等边三角形，即BC=BD=DC；另一方面，由于∠A＝30°，∠BDC＝60°，根据三角形的外角得到∠ACD＝30°，再根据等角对等边得到AD=DC，因此得到AB=AD+DB=2BC，结论成立．

〔解答〕略．

三、应用提高、拓展创新，培养学生解决问题的能力和创新意识

活动5 如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？

BDAEC

图（5）

师生活动设计：

学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．

〔解答〕略．

活动6 如图（6），以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和△ACD，连接BD、CE，（1）线段CE和BD有什么数量关系？证明你的结论．（2）能否求出∠DFC的度数？

EAGFBCD

图（6）

学生活动设计：

学生先独立思考再小组讨论，然后交流．

（1）经过分析可以发现，只需要证明线段CE和BD所在的△AEC和△ABD全等即可，根据等边三角形的性质可以得到AC=AD，AE=AB，∠DAC=∠EAB＝60°，进而得到∠EAC=∠BAD，根据SAS得到△AEC≌△ABD，于是结论成立；

（2）根据（1）可以得到∠BDA=∠ACE，又∠CGF=∠DGA(对顶角)，可以得到∠DFC＝60°，问题解决．

教师活动设计：

教师在学生交流的基础上，引导学生寻找解决这类问题时需要注意的地方，让学生写出规范的解题过程．

〔解答〕因为△ABE和△ACD是等边三角形，

所以∠DAC=∠EAB＝60°，AE=AB，AD=AC，

所以∠EAC=∠DAB．

在△AEC和△ABD中，

ABAE EACBAD12.3.1

等腰三角形

ACAD



【教学目标】

1.知识与能力

理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．

2.过程与方法

在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．

3.情感、态度与价值观 培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．

【教学重点】

理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．

【教学难点】

等腰三角形性质和判定的应用．

【教学方法】

创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．

【教学过程】

四、

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1 如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？

BADC

图（1）

学生活动设计：

学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．

教师活动设计：

让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：

ABC

图（2）

△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．

二、自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质

活动2 把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

重合的线段

重合的角

从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

学生活动设计：

学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质．

教师活动设计：

引导学生归纳：

性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

活动3

你能证明上述两个性质吗？

问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．

（3）

求证：∠B=∠C；

（4）

AD平分∠A，AD⊥BC．

ABDC

图（3）

学生活动设计：

学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，

于是可以证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．

教师活动设计：

让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性

ABAC〔解答〕在△ABD和△ACD中ADAD

BDCD所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．

巩固练习：第51页练习．

活动4 如图（4），位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

学生活动设计：

学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．

OACB

图（4）

学生活动设计：

教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．

最后归纳出等腰三角形的判定性质．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）

〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．

三、应用提高、拓展创新

问题1 如图（5），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．

ADBC

图（5）

学生活动设计：

学生小组合作、分组讨论，交流．

教师活动设计：

引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．

发现：

（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；

（2）∠A＝∠ABD；

（3）∠A＋2∠C＝180°．

若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．

〔解答〕略

问题2 如图（6），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证：AB=AC．

EA12DBC

图（6）

师生活动设计：

学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B=∠C即可，由AD//BC和AD平分∠EAC容易得到．

问题3 如图（7），在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

图（7）

师生活动设计：

通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质．可以发现：

〔解答〕证明：延长CD交AB的延长线于P，如图（7）．

在△ADP和△ADC中，

12

ADADADPADC∴△ADP≌△ADC，

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP

∴∠4=∠P，

∴∠4=∠ACD．

∴DE=CE．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

四、归纳小结、布置作业

小结：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．

作业：习题12.3 第1～7题．

所以△AEC≌△ABD．

所以BD=EC，∠BDA=∠ACE，

又∠CGF=∠DGA，

所以∠DFC＝∠DAC＝60°．

四、归纳小结、布置作业

小结：等边三角形的性质和判定以及应用．

作业：习题12.3 第8～14题．