信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆课时教案

【课题】

2．1椭圆（一）

【教学目标】

知识目标：

理解椭圆的定义，理解焦点在x轴与焦点在y轴的两种椭圆的标准方程．

能力目标：

通过椭圆的标准方程的推导，理解“解析法”的应用，从而学生的数学思维能力得到提高．

【教学重点】

椭圆两种形式的标准方程．

【教学难点】

标准方程的推导．

【教学设计】

通过师生的共同操作实验，引入知识.椭圆的定义中要强调“常数”大于F1F2，否则画不出图形．标准方程的推导是本节教学难点之一．直接给出焦点在y轴上的椭圆的图形，图中显示出椭圆与坐标系之间的种位置关系．然后看图说话，类比介绍焦点在y轴上的椭圆的标准方程．例1是求椭圆的标准方程的训练题．求椭圆的标准方程，关键是确定焦点的位置和求出a2和b2．例1给出了焦点的位置并给出了2a和2c，方便地求出a和c，利用关系式a2c2b2(b0)求出b2．例2是已知椭圆的标准方程，求焦距和焦点坐标的训练题．经过例1和例2的训练，从两个不同的角度强化学生对两类椭圆的标准方程特征的认识，及关系式a2c2b2(b0)的掌握．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

2．1

椭圆．

*创设情境

兴趣导入

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

了解

0

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）

教

学

过

程

我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程AxByC0为直线的方程，二元二次方程教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

播放

课件

质疑

观看

课件

思考

引导

启发学生得出结果

总结

归纳

思考

引导学生发现解决问题方法

5

xyDxEyF0(DE4F0)为圆的方程．

下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线．

*动脑思考

探索新知

先来做一个实验：

准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：

（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的F1和2222F2两点，并使绳长大于F1和F2的距离．

（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．

从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与两个定点F1和F2的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）．

我们将平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数（大于

圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．

实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研

究椭圆的方程．

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为

y轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．

F1F2）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

分析

关键

词语

理解

图2－2

设M(x，y)是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），椭圆上的点与两个定点F1、F2的距离之和为2a（a＞0），则记忆

F1，F2的坐标分别为（－c，0），（c，0），由条件MF1MF22a，得

(xc)2y2(xc)2y22a，移项得

(xc)2y22a(xc)2y2，两边平方得(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2，

整理得

a2cxa(xc)2y2，

两边平方后，整理得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，

由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2c20，设a2c2b2(b0)，则

b2x2a2y2a2b2，【小提示】

设a2c2b2，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义．

等式两边同时除以a2b2，得

x2y21　 　(a＞b＞0)

（2.1）

a2b2方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它所表0)F2(c，，0)并且a2c2b2．示的椭圆的焦点是F1(c，，

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）

教

学

过

程

如图2－3所示，如果取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

25

引领

讲解

说明

观察

思考

主动

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为

y2x21　　　(a＞b＞0)

（2.2）

a2b2

图2－3

方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．字母a、b的意义同上，并且a2c2b2．

【想一想】

已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？

*巩固知识

典型例题

例1

已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．

解 由于2c=8，2a=10，即c=4，a=5，所以

b2a2c29，

由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为

xy1，

5232x2y21．即

25922【想一想】

将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）

教

学

过

程

件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？

例2

求下列椭圆的焦点和焦距．

x2y21；

（2）2x2y216．

（1）54教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

45 分析

解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上．方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．

解

（1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a25，b24．

故

c2a2b21，

因此

c=4，2c=2．

0)F2(1，，0)焦距为2．

所以，椭圆的焦点为F1(1，、（2）将方程化成标准方程，为

x2y21．

816因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a216，b28．

故

c2a2b21688．．

2c42．因此

c22，　，

所以，椭圆的焦点为F1(0,22)、F2(0,22)，焦距为42．

*运用知识

强化练习

1．已知椭圆的焦点为F1(0,2)、F2(0,2)，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程．

2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．

x2y21；

（2）4x2y264．

（1）4924

提问

巡视

指导

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

质疑

回答

理解

强化

师生共同归纳强调重点

分别写出焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆的标准方程．

结论：

焦点在x轴上的椭圆的标准方程是

归纳

60

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）

教

学

过

程

x2y221　　　(a＞b＞0)

2ab教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

强调

70

75

85

90 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

y2x21　　　(a＞b＞0)

a2b2*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

引导

提问

指导

说明

回忆

反思

动手

求解

记录

培养反思学习过程的能力

分层次要求

已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和巡视

为10．求椭圆的标准方程．

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习指导2．1（选做）

(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题

【教师教学后记】

项目

反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

学生思维情况

思维是否有条理、灵活；

是否能提出新的想法；

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

学生实践的情况

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

第2章

椭圆、双曲线、抛物线（教案）