习题3.1优质课教学设计

一元二次方程根的分布

一、教学背景

所谓的一元二次方程的实根分布问题, 就是通过对一元二次方程解析式中的参数自变量进行讨论, 来确定它的根在数轴上的位置关系. 传统的方法是通过一元二次方程的判别式和韦达定理来解决. 但是在碰到较为复杂的题目时, 这种方法就显得比较繁琐. 上节课我们学习了方程的根与函数的零点, 理解了方程的根与函数的零点之间的关系. 利用二次函数的性质, 数形结合我们就可以很好的解决这一问题. 我们在研究一个一元二次方程ax2bxc0的根时, 如果从它的几何意义上来说就是研究二次函数yax2bxc与x轴交点的横坐标即函数的零点, 所以研究方程ax2bxc0的根的分布情况, 可从yax2bxc的图象进行研究．

二、教学目标

1.使学生能应用不等式的有关知识, 对一元二次方程的实根分布进行讨论．

2.帮助学生使用二次函数的图象进行实根分布的讨论,培养学生数形结合的思想与能力．

3.使学生能够将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题, 体现等价转化的数学思想．

三、教学重难点

数形结合, 将实根分布问题转化为不等式（组）的求解问题. 四、教学过程

1.新课引入

例1:已知方程x22mx(2m3)0(mR)有两个不相等的负根, 求m的取值范围. 0

可以用判别式、韦达定理来完成, 即有不等式组成立. xx012例2:已知二次方程x22mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围. 0也能够用判别式、韦达定理去完成. 即有不等式组成立. xx012例3：已知二次函数yx22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围. 这个时候我们再想要使用判别式和韦达定理去完成这一题目, 就会有诸多的麻烦. 这个时候我们往往就需要用我们上次课讲到的知识, 把方程的根转化为其对应的函数图像与x轴交点的问题去解决. 可以画得满足题目中两个交点位置的函数图像如下图所示, 由此可以得到满足这一图像的函数需满足的条件为:

fk0.

1

2.新课

我们把这一类的问题统称为一元二次方程的实根分布问题, 根据参考点的不同我们把这一类的问题分为以下几种：

(1)单个点作为参考点的情况

如果对与方程的两个根只是相对于一个参考点k来进行讨论的,首先我们先分析一下特殊的情况, 即当k0时, 那么我们会有以下三种情况

以单个点0作为参考点时

分况布情两个负根即两根都小于0 x10,x20

两个正根即两根都大于0 x10,x20

一正根一负根即一根小于0, 一根大于0x10x2

大a0致图）象（

0b

02af00

得出的结论0b

02af00f00

a0）

大致图象（

得出的结论0b0

2af000b0

2af00f00

以单个点k作为参考点时

分布情况两根都小于k即

x1k,x2k

两根都大于k即

x1k,x2k

一个根小于k, 一个大于k即x1kx2

a0）

a0）

(2)区间作为参考点的情况

如果对与方程的两个根是相对于一个区间作为参考点来进行讨论, 那么会有一下的三种情况（a0与a0情况相似不多加叙述）

以一个区间m,n作为参考点

分布情况1.两根在区间m,n外

2.两根都在区间m,n上. 3.两根有且仅有一根在m,n上（图象有两种情况, 只画了一种）

a0）

大致图象（k

k

k

得出的结论0bk

2afk00bk

2afk0fk0

大致图象（得出的结论0bk

2afk00bk

2afk0fk0

大致图象（

得出的结论

fm0

fn00fm0fn0

bmn2afmfn0

a0）

0得fm0fm0出fmfn0

的

fn0

结fn0b论mn2a将以上几种情况总结以下, 我们会发现: 如果两个根在不同的区间上, 我们就只需要考虑端点的函数值；

如果两个根在同一的区间上, 我们除了要考虑端点的函数值以外, 还需要考虑判别式的符号和端点与对称轴的相对位置. 当然实际的具体问题当中, 我们还会碰到更加复杂的变式, 但是只要掌握了上面着一些情况, 都可以以这些为基础. 例如一根在m,n上, 另一根在p,q上, 即有mnpq.它需满足的条件是：

大致图象（a0a0或者

fm0ffn0f(1)当a0时有:  ； (2)当a0时有: fp0ffq0f

m0n0 . p0q0

(3)对以上的根的分布表中一些特殊情况的理解

1方程有且只有一根, 且这个根在区间m,n内, 即0, 此时由0可○以求出参数的值, 然后再将参数的值带入方程, 求出相应的根, 并且检验根是否在给定的区间内, 如若不在, 舍去相应的参数. 2如果作为参考点的区间是一个闭区间m,n, 这是相比于开区间m,n, 我○们需要特别的考虑fm0或fn0的情况. 3如果一元二次方程的最高次项x2的系数也是带参数的,那么我们还需要考○虑这一方程是不是一定为一个一元二次方程, 即考虑a0的情况.如果a0, 那么就是一个一元一次方程的问题, 复杂程度会降低很多.

例4: 变式2：求实数m的范围，使关于x的方程x22(m1)x2m60．

（１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小．

（２）有两个实根,，且满足014．

3.课堂小结

在遇到这一类问题的时候, 我们往往需要借助二次函数并使用数形结合的思想来解决问题. 借助二次函数来讨论方程根的分别问题一般需要从四个方面考虑: 抛物线的开口方向、一元二次方程判别式、区间端点函数值的符号以及对称轴与参考点（区间）的相对位置. 通过这些得到满足题意的不等式（组）. 五、课后作业

作业本方程的根与函数的零点（二）p72p73

六、教学反思

七、板书设计