习题3.1课堂实录及点评

3.1.1 方程的根与函数的零点

文昌华侨中学

符史胜

教学目标：

1.能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

2.理解函数的零点与方程的联系。

3.渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。

教学重点、难点：

1.重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

2.难点：函数零点存在的条件。

教学过程：

1.问题引入

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程

方程的根

二次函数

图像与X轴的交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 x1=-1，x2=3 x1= x2=1 无实数根

y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 （-1，0），（3，0）

（1，0）

无交点

. －y 2 1 . 1 2 . －－0 . 3 －－x .

（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像

1

y . 2 1 －. . . . 2 0 1 x （图1-2）函数y=x2-2x+1的图像

y . 4 . . 3 . 2 . 1 －5 0 1 2 3 x

（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像

归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；

（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

1.函数的零点

（1）

概念：对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

（2）

意义：方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图像与x轴有交点

函数y=f(x)有零点

（3）

求函数的零点

①代数法：求方程f(x)=0的实数根

②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

1.函数零点的存在性

（1）

二次函数的零点

△=b2-4ac ax2+bx+c=0的实数根

y=ax2+bx+c的零点数

△﹥0 有两个不等的实数根x1、x2

两个零点x1、

x2

△=0 有两个相等的实数根x1= x2

一个零点x1（或x2）

2

△﹤0 没有实数根

没有零点

y （图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y= ax2

+bx+c(a≠0)x1 0 x2 x

的图像

y （图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y= ax2+bx+c(a≠0)的0 x1 x 图像

y （图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y= ax2

+bx+c(a≠0)0 x

的图像

（1）

探究发现

问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？

解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5

f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4

f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0 问题2：在区间[2,4]呢？

解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3

f(4)=42-2*4-3=5

f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0

归纳：f(2)* f(1)﹤0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)* f(4)﹤0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。

结论：如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线并且有3

f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

①

图像在②

a,b上的图像是连续不断的

f(x)在区间a,b内至少有一个零点

f(a)f(b)0

③

函数y2.习题演练

利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

①

y=－x2＋3x＋5 ，

②y=2x(x－2)+3 解：①令f(x)=－x2＋3x＋5, 做出函数f(x)的图像，如下

y 8 6 . . . 3 4 . 4 2 －－. 0 1 2 x （图4-1）

它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋3x＋5有两个零点。

②y=2x(x－2)+3可化为

做出函数f(x)的图像,如下：

4

. y 5 . 4 3 . 2 . 1 . －0 1 2 3 x

（图4-2）

它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。

5