习题3.1教学实录与评析

函数的零点问题

教学目标：

知识与技能：1.理解函数零点的概念. 2.领会函数零点与相应方程的关系. 3.掌握零点存在的判定条件．

过程与方法：通过对零点常见题型的归纳形成知识网，生成对应解题技巧．

情感、态度、价值观：在函数零点常见题型的复习归纳中体验数学中的转化思想及数形结

合的意义和价值．

教学重点：1.零点的概念及存在性的判定．

2.零点常见题型的归纳。

教学难点：转化思想及数形结合思想的理解应用。

教学过程：

一．知识梳理

1．函数的零点

(1)函数的零点的概念

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数的零点与方程的根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：①在闭区间[a，b]上连续；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．函数零点的判定常用的方法有：

(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. （4）研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．

（5）转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．

二．典型例题及题型训练

题型一：确定函数的零点问题：（1）解方程f(x)＝0可解，例1 （2）解方程f(x)＝0不可解数形结合，例2 例1(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为

(

) A．2

B．3 C．4

D．5 本题考查函数零点,意在考查考生对简单的三角函数方程的求解.借助余弦函数的图象求解.f(x)=xcos 2x=0⇒x=0或cos 2x=0,又 cos 2x=0在[0,2π]上有共4个根,故原函数有5个零点.

2x＋2x－3，x≤0变式训练1．(2010·福建高考)函数f(x)＝的零点的个数－2＋lnx，x>0

为(

) A．0 B．1 C．2 D．3 |lg x|，x＞0，2.已知f(x)＝|x|则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是2，x≤0，__________．

作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.

答案

5 例2(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

)

A．1

B．2 C．3

D．4 1x令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，

2作g(x)，h(x)的图象，因为两个函数图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．

1x变式训练(2012·北京高考)函数f(x)＝x－的零点个数为( B ) 2

A．0

B．1 C．2

D．3

12题型二：确定函数零点区间问题：零点存在性定理；例3 1例3(2014·西安质检)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(

) x11A.0，

B.，1 C．(1，2)

2211∵f＝log2－2＝－3＜0，

22f(1)＝log21－1＝－1＜0; 1f(2)＝log22－＞0，

2故函数零点所在区间为(1，2)．

答案

C D．(2，3)

变式训练1(2013·重庆高考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(

)

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 1x－22．(2014·衡水模拟)设函数y＝x与y＝的图象交点为(x0，y0)，则x0所23在的区间是B

A．(0，1)

B．(1，2) C．(2，3)

D．(3，4) 题型三：零点含参问题：例4 例4试讨论函数点的个数。

分析：方法1：.得如与表格: x f(x)x36x29x10a(aR)零(,1)

+ 增函数

1 (1,3) 3 (3,)

+ 增函数

y/

y 0 - 减函数

0 y极大值6a

y极小值10a

然后再结合函数f(x)的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，讨论极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：

当y极小值10a0即且即a10时没有12个交点；当个交点；当y极小值10a0a10时仅有y极小值10a0交点；当即y极大值6a0即10a6时有3个y极大值6a0a6y6a0时有2个交点；当极大值即a6时有1个交点.

变式训练 已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．

∵f(x)＝ex－x＋a，

∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0. 当x<0时，f′(x)<0，

函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；

当x>0时，f′(x)>0，

函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

故f(x)min＝f(0)＝1＋a. 若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，

即1＋a≤0，得a≤－1. 答案

(－∞，－1] 三：课后作业：课时作业1份

四：教学反思：

本节课的教学中心有两个，一个是函数的零点、方程的根以及函数图象与x轴交点的横坐标三者的关系，另一个中心就是函数零点存在性定理。在教学设计上，我主要通过知识点复习回顾再次理解和题型归纳让学生明确高考考察的常见题型以及要掌握的力度，使三种关系及探究存在性定理自然渗透到每位学生心中；体现数形结合的方法和转化思想。因此，在题目设置上强化学生题型感的认知，重视思维从定义中生成，在变化中升华。在课堂教学中，主要也体现了以下几个亮点：一是高考为引激发了学生的求知欲，调动学生参与课堂，有效地找到了切入点；二是数形结合思想在整个课堂中恰到好处的应用，对突破知识的难点非常有用，使教学效果明显提高；三是师生互动明显，在探究活动中，充分调动了学生的积极性，能根据学生实际的情况进行教学语言调整。但在这一节课里，依然还有许多遗憾，值得反思。一是在三种关系的转换上，没有将本质讲透彻，特别是对数学概念引入的缘由没有讲清，为什么要引入函数的零点，引入函数的零点后将走向哪里去，有什么用，这些问题未能在课上讲透彻，没有把函数作为统帅的地位在本课中及时提出；二是在学生思维的引导上预留的时间还不够充分，对学生个体思维存在的问题针对性也还不够。总之，虽然在课上有不如意的地方，但通过课后的反思，对教学设计和课堂驾驭能力将会有很好的促进。