小结优秀完整教案

学案

函数模型及其应用

导学目标：

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

自主梳理

1．三种增长型函数模型的图象与性质

函数

y＝logax y＝ax(a>1)

y＝xn(n>0) (a>1) 性质

在(0，＋∞) 上的

单调性

增长速度

随x增大逐渐表现为与随x增大逐渐表现为与图象的变化

随n值变化而不同

____平行

____平行

2.三种增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数y＝ax (a>1)与幂函数y＝xn (n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．

(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn (n>0) 对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．

由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．

3．函数模型的应用实例的基本题型

(1)给定函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

4．函数建模的基本程序

自我检测

1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是

(

) 1A．v＝ex

B．v＝100ln x

100C．v＝x100

D．v＝100×2x

2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为

(

) A．45.606

B．45.6

C．45.56

D．45.51 3．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

(

) x＋3xA．y＝[]

B．y＝[] 1010x＋4x＋5C．y＝[]

D．y＝[] 10104．(2011·湘潭月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是

(

)

5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时) 探究点一

一次函数、二次函数模型

例1

(2011·阳江模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成2x本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生5产线年产量最大为210吨．

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

变式迁移1

某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

探究点二

分段函数模型

例2

据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)

的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

(1)当t＝4时，求s的值；

(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

变式迁移2

某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．

(1)求y关于x的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

探究点三

指数函数模型

例3

诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推) (1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；

(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．

(参考数据：1.031 29＝1.32)

1变式迁移3

(2011·商丘模拟)现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一2次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？

(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)

1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．

2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：

(1)利用函数模型的单调性比较数的大小；

(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；

(3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是

(

)

X 1.95

3.00

3.94

5.10

6.12 Y 0.97

1.59

1.98

2.35

2.61 xA.y＝2

B．y＝log2x

1C．y＝(x2－1)

D．y＝2.61cos x

22．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)(单位：元)，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m∈[0.5,3.1]时，函数f(m)的值域是

(

) A．{1.06,2.12,3.18,4.24} B．{1.06,1.59,2.12,2.65} C．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18} D．{1.59,2.12,2.65} 3．(2011·秦皇岛模拟)某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是

(

) A．多赚约6元

B．少赚约6元

C．多赚约2元

D．盈利相同

4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为

(

) A．4 000元

B．3 800元

C．4 200元

D．3 600元

5．(2011·沧州月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某1种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大2利润，该企业一个月应生产该商品数量为

(

) A．18万件

B．20万件

C．16万件

D．8万件

1

2

3

4

5 题号

答案

二、填空题(每小题4分，共12分) 6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t，由此

预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t. 7．(2010·金华十校3月联考)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．

8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：

型号

小包装

大包装

重量

100克

300克

包装费

0.5元

0.7元

销售价格

3.00元

8.4元

则下列说法中正确的是________(填序号) ①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．

三、解答题(共38分) 9．(12分)(2010·湖南师大附中仿真)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，9117每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋，当2444m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．

(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？

(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？

10．(12分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：购地总费用平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积

11．(14分)(2011·鄂州模拟)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．

(1)把y表示成x的函数，并求出其定义域；

(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？

答案

自主梳理

1．增函数

增函数

增函数

越来越快

越来越慢

相对平稳

y轴

x轴

2.(1)快于

xna>x

(2)慢于

logax

ax>xn>logax

自我检测

11．A

[由e>2，知当x增大时，ex增大更快．] 1002．B

[依题意，可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，

∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)

＝－0.15x2＋3.06x＋30 (x≥0)．

∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．] 3．B

[每10个人可以推选1个，(xmod 10)>6可以再推选一个，即如果余数(xmod 10)≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．]

4．A 5．5 解析

设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，

3x≤0.09，即3x≤0.3. 则有0.3·44估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．

课堂活动区

y例1

解

(1)每吨平均成本为(万元)．

xyx8 000则＝＋－48 x5xx8 000≥2·－48＝32，

5xx8 000当且仅当＝，即x＝200时取等号．

5x∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．

(2)设年获得总利润为R(x)万元，

x2则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 52x＝－＋88x－8 000 51＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．

5∵R(x)在[0,210]上是增函数，

1∴x＝210时，R(x)有最大值为－×(210－220)2＋1 680＝1 660. 5∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．

变式迁移1

解

(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．

(2)设每辆车的月租金为x元(x≥3 000)，租赁公司的月收益为y元，

x－3 000x－3 000则y＝x100－－×50 5050x－3 000－100－×150 50x2＝－＋162x－21 000 501＝－(x－4 050)2＋307 050，

50当x＝4 050时，ymax＝307 050. 答

当每辆车月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307 050. 例2

解

(1)由图象可知：

当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)，

1∴s＝×4×12＝24(km)．

213(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，

221当10

211当20

－550. 综上，可知S＝30t－150，

t∈10，20]，－t＋70t－550，

t∈20，35].232t，

t∈[0，10]，2

3(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650，

2t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650，

∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40.∵20

变式迁移2

解

(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，

y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，

y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 44所以y＝20.4x－4.8，

5

x>43414.4x，

0≤x≤，5

(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，

440，时，y≤f<26.4；

当x∈55444，时，y≤f<26.4；

当x∈5334当x∈3，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5. 所以甲户用水量为5x＝7.5吨，

付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；

乙户用水量为3x＝4.5吨，

付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．

例3

解题导引

指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝a(1＋p)x (其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．

1解

(1)由题意知：f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，

21f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－f(2)×6.24% 2＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，

－∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x1(x∈N*)．

(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，

11故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了62约14万美元，是假新闻．

变式迁移3

解

现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，

1小时后，细胞总数为

113×100＋×100×2＝×100；

2222小时后，细胞总数为

13139××100＋××100×2＝×100；

222243小时后，细胞总数为

191927××100＋××100×2＝×100；

242484小时后，细胞总数为

12712781××100＋××100×2＝×100；

282816可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：

3y＝100×()x，x∈N*，

233由100×()x>1010，得()x>108，

22两边取以10为底的对数，

38得xlg>8，∴x>，

2lg 3－lg 288∵＝≈45.45，

lg 3－lg 20.477－0.301∴x>45.45. 答

经过46小时，细胞总数超过1010个．

课后练习区

1．B

[通过检验可知，y＝log2x较为接近．]

2．B

[当0.5≤m<1时，[m]＝0，f(m)＝1.06；

当1≤m<2时，[m]＝1，f(m)＝1.59；

当2≤m<3时，[m]＝2，f(m)＝2.12；

当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f(m)＝2.65.] 3．B

[设A、B两种商品的原价为a、b，

则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23 23×2523×25⇒a＝，b＝，a＋b－46≈6元．] 36164．B

[设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝0

0

800

11%·x

x>4 000.如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，

∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.] 15．A

[利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，

2当x＝18时，L(x)有最大值．] 6．a(1＋b)

a(1＋b)5

解析

由于2009年的垃圾量为a

t，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b) t，同理可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量为a(1＋b)5 t. 7．2 500 m2

200－x200－x1解析

设所围场地的长为x，则宽为，其中0

2

＝2 500 m2，

等号当且仅当x＝100时成立．

8．②④

9．解

(1)由已知，

1791－x2＋5x＋

m－n＝x－－424411＝x2－x－2.……………………………………………………………………………(3分) 42由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4. 据题意，x>0，所以x≥4. 故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………(6分) (2)若企业亏损最严重，则n－m取最大值．

1791因为n－m＝－x2＋5x＋－x＋

44241912＝－[x－1－9]＝－(x－1)2.………………………………………………………(9分) 4449所以当x＝1时，n－m取最大值，

49117此时m＝－＝. 244179故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．………………(12分) 4410．解

设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，

2 160×10 00010 800则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．…………(5分) 2 000xx225225∵f(x)＝560＋48(x＋)≥560＋48·2x·＝560＋48×30＝2 000.……………(10分) xx225当且仅当x＝时，上式取等号，即x＝15时，f(x)min＝2 000. x所以楼房应建15层．……………………………………………………………………(12分) 11．解

(1)依题意有

100x－575

x≤10，y＝……………………………………………(4分) [100－x－10×3]x－575

x>10，由于y>0且x∈N*，

100x－575>0，由

得6≤x≤10，x∈N*. x≤10.

x>10，由

[100－x－10×3]x－575>0得10

所以函数为

*100x－575

x∈N，且6≤x≤10，y＝

2*－3x＋130x－575

x∈N，且1010时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－＝时，y取最大值，但x2×－33∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575 (10