小结名师教学设计1

习题课

基本初等函数(Ⅰ) 学习目标

1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点).

1.三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是(

) A.0.76<60.7

C.log0.76<60.7<0.76

B.0.76

D.log0.76<0.76<60.7

解析

由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1，0<0.76<1，log0.76<0，∴log0.76<0.76<60.7，故选D. 答案

D 2.已知0

) A.第一象限

C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限

解析

因为0

C 143.2lg 32－3lg 8＋lg 5＝________. 143151111解析

原式＝2lg 25－3lg 22＋lg 52＝2lg 2－2lg 2＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋11lg 5)＝2lg 10＝2. 1答案

2

4.函数f(x)＝log2(－x2＋2x＋7)的值域是________. 解析

∵－x2＋2x＋7＝－(x－1)2＋8≤8，

∴log2(－x2＋2x＋7)≤log28＝3，故f(x)的值域是(－∞，3]. 答案

(－∞，3]

类型一

指数与对数的运算

【例1】

计算：

32(1)2log32－log39＋log38－5log53；

17041(2)0.064－3－－8＋[(－2)3]－3＋16－0.75＋0.012. 22×8解

(1)原式＝log332－3＝2－3＝－1. 9511114313(2)原式＝0.43×－3－1＋2－4＋24×－4＋0.1＝2－1＋16＋8＋10＝80. 规律方法

指数、对数的运算应遵循的原则

(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；

(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧. 【训练1】

计算：

1－1－410(1)（－4）－2＋0.252×；

23327(2)log33＋2log510＋log50.25＋71－log72. 1解

(1)原式＝－4－1＋2×(2)4＝－3. 1717(2)原式＝log33＋log5(100×0.25)＋7÷7log72＝log33－4＋log552＋2＝－4＋2＋221＝4. 类型二

指数、对数型函数的定义域、值域

2x1－2x＋2【例2】

(1)求函数y＝2(0≤x≤3)的值域；

4334

3xx(2)已知－3≤log1x≤－2，求函数f(x)＝log22·log24的最大值和最小值. 21t解

(1)令t＝x－2x＋2，则y＝2. 2又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，0≤x≤3，

∴当x＝1时，tmin＝1；

当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，

151111∴2≤y≤2，故所求函数的值域为32，2. 33(2)∵－3≤log1x≤－2，∴2≤log2x≤3，

2321xx2∴f(x)＝log22·log24＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)－3log2x＋2＝log2x－2－4. 当log2x＝3时，f(x)max＝2；

31当log2x＝2时，f(x)min＝－4. 规律方法

函数值域(最值)的求法

(1)直观法：图象在y轴上的“投影”的范围就是值域的范围. (2)配方法：适合二次函数. 1－x221－y(3)反解法：有界量用y来表示.如y＝中，由x＝≥0可求y的范围，可1＋x21＋y得值域. (4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围. (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数. 3x2【训练2】

(1)函数f(x)＝＋lg（3x＋1）的定义域是________；

1－xlog1x，x≥1，(2)函数f(x)＝2的值域为________. 2x，x<1解析

1－x>0，(1)由题意可得3x＋1>0，

lg（3x＋1）≥0，

解得0≤x<1，

则f(x)的定义域是[0，1). (2)当x≥1时，log1x≤log11＝0，当x<1时，0<2x<21＝2，

22所以f(x)的值域为(－∞，0]∪(0，2)＝(－∞，2). 答案

(1)[0，1)

(2)(－∞，2) 类型三

指数函数、对数函数、幂函数的图象问题

【例3】

(1)若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝ax＋1的图象大致是(

)

1(2)当0

) 2A.0，

2C.(1，2)

2B.，1

2D.(2，2) 解析

(1)由loga2<0(a>0，且a≠1)，可得0

1(2)∵0

0

222logaax0，2答案

(1)A

(2)B 规律方法

函数图象及应用

(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解. (2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题. 2x（x<0），【训练3】

(1)函数y＝x的图象大致是(

) 2－1（x≥0）

(2)已知a>0且a≠1，函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则a的取值范围是________. 解析

(1)当x<0时，y＝x2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C和D；当x≥0时，y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向下平移一个单位得到，故排除A，选B.

(2)当a>1时，在同一坐标系中作出函数y＝|ax－2|和y＝3a的图象，因为a>1，所以3a>3，故两函数图象只有一个交点.

当0

32综上所述，a的取值范围是0，3. 2答案

(1)B

(2)0，3

类型四

比较大小问题

【例4】

比较下列各组中两个值的大小：

(1)1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；(2)log53，log63，log73.

解

(1)∵1.10.9>1.10＝1，log1.10.9

∴1.10.9>log0.70.8>log1.10.9. (2)∵0

∴log53>log63>log73. 规律方法

数(式)的大小比较常用的方法及技巧

(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法. (2)常用的技巧：

①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较. ②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于或等于0且小于或等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小. 【训练4】

(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(

) A.a>b>c

C.b>c>a

11B.b>a>c

D.c>b>a

10.3(2)设a＝log2，b＝log3，c＝3，则(

) 32A.a

C.b

B.a

D.b

解析

(1)∵a＝log20.320＝1，0c>a.故选C. 10.3(2)∵a＝log2<0，b＝log3<0，log30，∴b

(1)C

(2)D 类型五

指数函数、对数函数、幂函数的综合应用

1＋2x＋a·4x【例5】

已知函数f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取3值范围. 1＋2x＋a·4x解

因为f(x)＝lg在x∈(－∞，1]上有意义，

3

所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立. 因为4x>0，

1x1x所以a>－＋在(－∞，1]上恒成立. 421x1x令g(x)＝－＋，x∈(－∞，1]. 421x1x由y＝－4与y＝－2在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，

311所以g(x)max＝g(1)＝－4＋2＝－4. 1x1x因为a>－＋在(－∞，1]上恒成立，

423所以a应大于g(x)的最大值，即a>－4. 3故所求a的取值范围为－4，＋∞. 规律方法

函数性质的综合应用

指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究. 【训练5】

函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值. 1－x>0，解

(1)要使函数有意义，则有

x＋3>0，解得－3

loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]. ∵－3

1由loga4＝－2，得a＝4，∴a＝42＝2. －2－1

1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题. 2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.

基础过关

2x＋11.若函数f(x)＝x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(

) 2－aA.(－∞，－1)

C.(0，1)

B.(－1，0) D.(1，＋∞) 2x＋12－x＋1解析

由题意f(x)＝－f(－x)，即x＝－－x，所以(1－a)(2x＋1)＝0，所以a2－a2－a2x＋12x＋1＝1，f(x)＝x，由f(x)＝x>3得，1<2x<2，所以0

C 1x2.函数y＝2＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(

) 

1x解析

函数y＝2＋1的图象如图所示，关于y＝x对称的图象大致为A选项对

应图象.

答案

A 3.函数f(x)＝log1(x2－4)的单调递增区间为(

) 2A.(0，＋∞)

C.(2，＋∞)

B.(－∞，0) D.(－∞，－2) 2x－4>0，解析

要使f(x)单调递增，需有解得x<－2. x<0，答案

D 24.计算：log22＝________，2log23＋log43＝________. 121－解析

log22＝log222＝－2；2log23＋log43＝2log23×2log43＝3×3＝33. 1答案

－

33 25.2，32，log25三个数中最大的数是________. 11解析

2＝8<1，32＝3>1，log25>log24＝2>3，所以log25最大. －3－31答案

log25 6.求函数y＝1的定义域. 1－loga（x＋a）解

要使函数有意义，则1－loga(x＋a)>0，

即loga(x＋a)<1＝logaa，

(1)当a>1时，函数y＝logat在(0，＋∞)上递增，

∴0

∴x＋a>a，即x>0. 综上所述，当a>1时，所求的定义域为(－a，0)；当0

(0，＋∞). 7.函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上有最大值14，求a的值. 解

y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2. 令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2，对称轴方程为t＝－1. 1①当a>1时，因为－1≤x≤1，所以a≤ax≤a，

1即a≤t≤a，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，

所以当t＝a时有最大值，所以(a＋1)2－2＝14，

所以a＝3. 1②当0

1即a≤t≤a，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，

112所以当t＝a时有最大值，所以a＋1－2＝14，

11所以a＝3.所以a的值为3或3. 能力提升

8.设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(

) A.2x<3y<5z

C.3y<5z<2x

B.5z<2x<3y

D.3y<2x<5z

xln 33解析

取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，y＝ln 2>2(由ln 32>ln 23可得)，∴2x>3y.xln 2xln 5 5＝zln 5，则z＝ln 2<2(由ln 52

D x－12－2，x≤1，9.已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(

) －log2（x＋1），x>1，7A.－4

3C.－4

5B.－4

1D.－4

解析

∵f(a)＝－3，∴当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，则2a－1＝－1，此等式显然不成立.当a>1时，－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2

7＝－4，故选A. 答案

A 11－10.若(a＋1)－2<(3－2a)2，则a的取值范围是________. 11－解析

令f(x)＝x2＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，xa＋1>0，23故原不等式等价于3－2a>0，解得33－2a，23答案

3，2

11.下列说法中，正确的是________(填序号). ①任取x＞0，均有3x＞2x；

②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；

③y＝(3)－x是增函数；

④y＝2|x|的最小值为1；

⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称. 解析

对于①，可知任取x＞0，3x＞2x一定成立. 对于②，当0＜a＜1时，a3＜a2，

故②不一定正确. 33x对于③，y＝(3)＝，因为0＜3＜1，故y＝(3)－x是减函数，故③不正3－x确. 对于④，因为|x|≥0，

∴y＝2|x|的最小值为1，正确. 对于⑤，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称是正确的. 答案

①④⑤

12.已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x). (1)求函数y＝f(x)的定义域；

(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(3)若f(2m－1)

解

(1)要使函数有意义，

3＋x>0，则解得－3

3－x>0，故函数y＝f(x)的定义域为(－3，3). (2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3，3)，关于原点对称. 对任意x∈(－3，3)，则－x∈(－3，3)，

∴f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，

∴函数y＝f(x)为偶函数. (3)∵函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)＝lg(9－x2)，

∴由复合函数单调性判断法则知，

当0≤x<3时，函数y＝f(x)为减函数. 又函数y＝f(x)为偶函数，

∴不等式f(2m－1)

1解得－1

(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围. 解

(1)由f(3)

2－2m＋m＋3330∴5<1＝5. 3x∵y＝5为减函数，

∴－2m2＋m＋3>0，

3解得－1

∵m∈N，∴m＝0或1. 当m＝0时，f(x)＝x－2m当m＝1时，f(x)＝x－2m2＋m＋3＝x3为奇函数，不合题意；

＝x2为偶函数，∴m＝1，此时f(x)＝x2. 2＋m＋3

(2)由(1)知，当x∈[2，3]时，g(x)＝loga(x2－ax). ①当00，∴无解；

u（3）＝32－3a>0，②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2，3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2，3]上单调递增，且u(x)>0，解得1

u（2）＝22－2a>0，∴