习题2.3教学实录与评析

《简单的幂函数》教学设计

广州市第四十七中学

刘允飞

【课题】：简单的幂函数

【教学目标】：

①

了解幂函数的形式定义。

②

通过观察理解幂函数的基本性质：定义域，值域，奇偶性，单调性和凸性。

③

培养学生的观察，讨论和探究能力。

④

了解数学文化，提高数学素养。

【教学重点和难点】：

重点是理解幂函数图象的基本性质以及培养学生的观察，讨论和探究能力。难点是理解负指数及分数指数的幂函数的性质。

【教学方法】：

从具体例子出发，让学生在观察，对比和讨论等一系列活动中学会发现，思考和解决问题的能力。

【教学用具】：电脑，实物投影，坐标纸。

【教学过程】：

一、

引例：

引例：请写出下列函数关系的函数解析式：

①

正方形的边长为x，写出正方形的面积y与边长x的函数关系式。

②

如果正方体的边长为x，写出正方体的体积y与边长x的函数关系式。

③

如果正方形面积为x，写出它的边长y与面积x的函数关系式。

★

问题1：通过观察你发现上面的函数关系式在形式上有什么共同特征吗？

结论：都具有幂的形式，因变量是自变量的幂，且自变量是底数，指数是常数。

二、

新课：

1、幂函数的定义：一般地，形如yx的函数就叫做幂函数(power function)。其中x是自变量，α是常数，α∈R。

【练习1】：判断下列函数哪些是幂函数？

yx,yx1,yx1,y2x2,y★【1,y2x

2x动手与实践】：请同学们利用描点法,在坐标纸上作出函数yx3,yx1与

yx的图象.(让学生感受图象并与电脑图象进行对比)

2、幂函数的性质：

★【12思考与探究】：（电脑演示）如图，观察函数图象进行讨论,并填写下表（学

生观察图象，并分组讨论填表，然后归纳，最后由老师总结）：

yx2

yx3

yx

12yx1

yx2

定义域

值域

奇偶性

第一象限内的单

调性

所有图象的交点

★

幂函数的性质归纳(投影)：

⑴

所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，且图象都经过点（1，1）。

⑵

当指数α为奇数时,函数yx是奇函数;当指数α为偶数时,函数yx是偶函数。

⑶

在第一象限内，当指数α>0时,函数yx是增函数;当指数α<0时,函数yx是减函数。

⑷

第一象限内，函数yx1,yx2的图象向上无限接近于y轴，向右无限接近于x轴。★

问题：你能否再猜出一个类似的函数？

3．幂函数图象的粗略识别：

例1：函数y|x|的图象可能是下面四个图象中的哪个（ ）

y y y y

x x x x A B C D ★

问题：观察刚才表格中各函数图象在[0，1]内的特点，与指数α15有什么关系？

【练习2】：函数yx的图象可能是（

）

y y y y

x x x x A B C D 13

结论：当0<α<1时,函数图象在直线y=x的上方，向上凸；当α>1时，函数图象在直线y=x的下方，图象向下凸；由此可判断上题。

【练习3】：下面给出了一些函数图象和函数解析式，请在图象下面的括号里1345填写相应的函数解析式：yx，yx，yx，yx。

y y y y

x x x x

（ ） （ ） （ ） （ ）

4、【数学文化选讲】：函数的发展简史及函数相关数学家故事,由数学讨论组的同学发言。

5、【课堂小结】：（投影）

⑴

幂函数的定义; ⑵

幂函数图象的基本性质;

⑶

在观察与讨论中体验合作学习的快乐. 23三、作业：P57：A2，3，B1 思考与应用：比较下列两个数的大小：

⑴ 31.5与21.5 ⑵ 212与（2a)212

【练习】：利用幂函数的单调性，比较下列各组幂的值的大小：

⑴ 2.3与2.4⑶ (3434 ⑵ 0.31与0.35

65652)32与(3)32 ⑷ 0.912与1.112

应用题例：在固定的压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。

⑴

写出气流速率v关于管道半径r的函数解析式；

⑵

若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；

⑶

已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率。