习题1.2优质课教案

§1－2空间几何体的结构

【知识要点】

1．简单空间几何体的基本概念：

(1)(2)特殊的四棱柱：

(3)其他空间几何体的基本概念：

几何体

正棱锥

正棱台

圆柱

圆锥

圆台

球面

球

几何体

基本概念

底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心

正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台

以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体

以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体

以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体

半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面

球面所围成的几何体

性质

补充说明

2．简单空间几何体的基本性质：

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及(2)两个底面与平行于底面的截面是全等对角面都是矩形

的多边形

(2)长方体一条对角线的平方等于一(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是个顶点上三条棱长的平方和

平行四边形

(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和

侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形

(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截(1)过球心的截面叫球的大圆，不过球面

心的截面叫球的小圆

(2)球心到截面的距离d，球的半径R，截(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间22面圆的半径r满足rRd

的一段劣弧的长度(两点的球面距离) 棱柱

正棱锥

球

3．简单几何体的三视图与直观图：

(1)平行投影：

①概念：如图，已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM1平行于l，交平面于点M1，则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影．如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1，则F1叫图形F在内关于直

线l的平行投影．平面叫投射面，直线l叫投射线．

②平行投影的性质：

性质1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

性质2．平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

性质3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；

性质4．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；

性质5．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．

(2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图．

(3)三视图：

①正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影．

②三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面．若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．

将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图．

③画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．

4．简单几何体的表面积与体积：

(1)柱体、锥体、台体和球的表面积：

①S直棱柱侧面积＝ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高．

②S正棱锥形面积③S正棱台侧面积1ch，其中c为底面多边形的周长，h＇为正棱锥的斜高．

21(cc)h，其中c＇，c分别是棱台的上、下底面周长，h＇为正棱台2的斜高．

④S圆柱侧面积＝2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高．

⑤S圆锥侧面积＝Rl，其中R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长．

⑥S球＝4R2，其中R是球的半径．

(2)柱体、锥体、台体和球的体积：

①V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．

②V锥体③V台体的高．

④V球1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

31h(SSSS)，其中S＇，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体343πR，其中R是球的半径．

3【复习要求】

1．了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；

2．会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图；

3．理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式．

【例题分析】

例1

如图，正三棱锥P－ABC的底面边长为a，侧棱长为b．

(Ⅰ)证明：PA⊥BC；

(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积；

(Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积．

【分析】对于(Ⅰ)只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于(Ⅱ)则要根据正三棱锥的基本性质进行求解．

证明：(Ⅰ)取BC中点D，连接AD，PD．

∵P－ABC是正三棱锥，

∴△ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形．

∵D是BC的中点，∴BC⊥AD，且BC⊥PD，

∴BC⊥平面PAD，∴PA⊥BC．

(Ⅱ)解：在Rt△PBD中，PD∴SPBCPB2BD214b2a2,

21aBCPD4b2a2.

243a4b2a2.

4∵三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形，

∴三棱锥P－ABC的侧面积是3a2,

∴△ABC是边长为a的正三角形，∴三棱锥P－ABC的底面积是4

3a23a3a∴三棱锥P－ABC的表面积为4b2a2(a12b23a2)

444(Ⅲ)解：过点P作PO⊥平面ABC于点O，则点O是正△ABC的中心，

∴OD113a3aAD,

3326PD2OD233b2a2,

3在Rt△POD中，PO13a23a222∴三棱锥P－ABC的体积为3ba3b2a2.

43123【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的Rt△POD，其中含有棱锥的高PO；如Rt△PBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在Rt△POC中含有侧棱．熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助．

2、正n(n＝3，4，6)边形中的相关数据：

边长

对角线长

边心距

面积

外接圆半径

正三角形

a

正方形

a

正六边形

a

长：2a；短：3a

2a

a

2a2

3a

632a

43a

2332a

2a

3a

32a

2例2

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．

(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．

【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．

证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，

∴BE⊥AA1．

∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，

∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．

(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．

∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，

∴DE∥AB1．

又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，

∴AB1∥平面BEC1．

例3

在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB2DC45．

(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；

(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．

【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．

证明：(Ⅰ)在△ABD中，

由于AD＝4，BD＝8，AB45，

所以AD2＋BD2＝AB2．

故AD⊥BD．

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，

又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．

(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，

由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．

因此PO为四棱锥P－ABCD的高，

又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为梯形ABCD的高，

所以四边形ABCD的面积为S3423.

24885，即为54525458524.故521VPABCD2423163.

3例4

如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的主

视图和左视图在下面画出(单位：cm) (Ⅰ)画出该多面体的俯视图；

(Ⅱ)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

(Ⅲ)在所给直观图中连结BC＇，证明：BC＇∥平面EFG．

【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”，根据此原则及相关数据可以画出三视图．

证明：(Ⅰ)该几何体三视图如下图：

(Ⅱ)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥446(22)2(Ⅲ)证明：在长方体ABCD－A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'．

因为E，G分别为AA'，A'D'中点，

所以AD'∥EG，

从而EG∥BC '．又BC'平面EFG，

所以BC'∥平面EFG．

1312284(cm2).

3

例5

有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是3a，4a，5a，高为2，其a中a＞0．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求a的取值范围．

解：直三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面的面积分别是6，8，10，底面积是6a2，因此每个三棱柱的表面积均是2×6a2＋6＋8＋10＝12a2＋24．

情形①：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：

2×(12a2＋24)－2×6a2＝12a2＋48．

情形②：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2＋24)－2×8＝24a2＋32．

情形③：将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2×(12a2＋24)－2×6＝24a2＋36．

情形④：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为：2×(12a2＋24)－2×10＝24a2＋28 在以上四种情形中，②、③的结果都比④大，所以表面积最小的情形只能在①、④中产生．

依题意“表面积最小的一个是四棱柱”，得24a2＋28＜12a2＋48，解得a所以a的取值范围是(0,25,

315)

3例6

在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F－A1ED1的体积．

【分析】计算三棱锥F－A1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1的距离，直接求解比较困难．利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如VFAEDVA1EFD1，11也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解．

解法1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G．

∵GF∥AD∥A1D1，∴GF∥平面A1ED1，

∴F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离．

∴VFA1ED1VGA1ED1VD1A1EG1131SA1EGA1D1a2aa3.

3388

解法2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH，

FC1，D1H，并记FC1∩D1H＝K．

∵A1D1∥EH，

A1D1＝EH，∴A1，D1，H，E四点共面．

∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴FC⊥A1D1．

又由平面几何知识可得FC1⊥D1H，∴FC⊥平面A1D1HE．

∴FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离．

容易求得FK35115235a13a,VFA1ED1SA1ED1FKaa.

10433108

练习1－2 一、选择题：

1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为(

) (A)2

(B)4

(C)8

(D)16

2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(

)

(A)9

(B)10

(C)11

(D)12

3．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm，高为12 cm．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)．如果所用涂料每0.5 kg可以涂1 m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料(

) (A)1.23 kg

(B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为(

) (A)22

(B)23

(C)4

(D)25

二、填空题：

5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于______．

6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝1，则三棱锥D－ABC的体积是______．

7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，则这个球的体积为______．

8．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①：_______________________________________________________________；

充要条件②：_______________________________________________________________．

(写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题：

9．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点．

(Ⅰ)求证：BD1∥平面ACE；

(Ⅱ)求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．

10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(Ⅰ)求该几何体的体积V；

(Ⅱ)求该几何体的侧面积S．

11．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1．

(Ⅰ)求证：E，B，F，D1四点共面；

(Ⅱ)若点G在BC上，BG

2，点M在BB1上，GM⊥BF，求证：EM⊥面BCC1B1．

3