复习参考题教学设计

3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修（A版）》第86~88页第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点。

函数与方程是中学数学四大数学思想之一，而且函数与方程在现实生活中有着十分重要的应用，因此函数与方程在整个高中数学教学中占着非常重要的地位。

本节将通过二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形。它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

本次课渗透着重要的数学思想“由特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想。

二、学习目标：

1、熟记函数零点的概念

2、掌握方程的根与函数的零点、函数图像与x轴交点之间的关系

3、理解零点定理（根的存在定理），并能判定在区间是否有零点

4、体会数形结合思想，并能熟练运用数形结合相互转化解决零点问题

三、学习过程

【新课引入】

问题1：

方程x2x30的根是

，

函数yx2x3与x轴的交点坐标是

问题2：请观察方程的根与函数图像与x轴的交点有什么关系？

【新课学习】

一.零点的定义：对于函数yf(x)，我们把_________叫做函数yf(x)的_________。

概念理解：

(1)方程f (x) = 0的根



函数y = f (x)的图象与x轴交点的横坐标



函数y = f (x)的零点

(2)零点是一个点？还是一个数？

3例1.函数f(x)＝x－4x的零点为(

) A．(0,0)，(2,0) B．(－2,0)，(0,0)，(2,0) C．－2,0,2 D．0,2

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例2.求下列函数的零点

x22x3,x01(1) f(x)x2x1 (2)f(x)4 (3)f(x)

22lnx,x02x

小结：

函数y = f (x)有零点

 

思考：求函数f(x)=lnx+2x－6 的零点

问题3：当方程f (x) = 0不会解的时候，如何求函数零点？

探究1：画出二次函数f(x)x2x3的图像，并回答以下问题

（1）对于二次函数f(x)x2x3，f(2)220，f(1)0，f(1)0；

即零点的左边y为正数，图像在x轴上方，右边y为负数，图像在x轴下方，并且f(2)f(1)0；

2（2）.对于二次函数f(x)x2x3，f(2)0，f(3)0，f(4)0；

即零点的左边y为负数，图像在x轴下方，右边y为正数，图像在x轴上方，并且f(2)f(4)

0；

小结：试说说函数yf(x)在某个区间a,b有零点的条件是什么？

讨论1：g(x)如图所示为什么没有零点？

a

b

2

讨论2：

由定理知，函数yf(x)在a,b上有几个零点？

a

bx

二.

零点定理：如果函数yf(x)在区间a,b是的图像是

（条件1）的一条曲线，

并且有

（条件2），那么，函数yf(x)在区间内

，即存在ca,b，使得f(c)0，这个C就是方程f(x)0的根

x例3.函数f(x)=e+x-2的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

变式：已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26 那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（

）个

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

例4.求函数

f(x)lnx2x6的零点的个数。

变式：求下列函数零点的个数。(1)f(x)lgxex11(2)f(x)ex4x3(3)f(x)2xx2

3

【学习小结】

1个定义：函数零点

1种关系：

方程f(x)0有实数根



函数yf(x)的图像与x轴有交

函数yf(x)有零点．

1个定理：零点存在性定理

3种题型：

（1）求函数零点----求相应方程f(x)0的实数根

（2）求函数零点的个数（解方程、转化为交点）

（2）判断区间是否存在零点（零点存在性定理、解方程、转化为交点）

【课后作业】

1．函数y2x7x4的零点是（ ）

A.4,0，2111,0

B. 4,

C.4,0，,0

D.不存在

2224x4,(x1)f(x)2. 函数的零点为

．

2x4x3,(x1)3．二次函数yaxbxc(a0),且ac0，则函数的零点个数有

个．

24．若一次函数f(x)axb有一个零点为2，则函数g(x)bxax的零点是（

）

2A．0和2

B．2和111

C．0和

D．

0和

2225．已知函数f (x)在区间 [a，b]上单调，且f (a)•f (b)<0，则方程f (x)=0在区间[a，b]内( ) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C ．没有实根 D．必有惟一实根

6．函数f(x)lnx62x的零点一定位于区间（ ）

A．(3,4) B．(5,6) C．(1,2) D．(2,3) 7．设x0是方程lnxx4的根，则x0属于区间（ ）

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

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