实习作业教学设计及教案分析

教学设计

1.3.1

单调性与最大(小)值

第1课时

整体设计

教学目标

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

重点难点

教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．

教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

教学方法

教师启发讲授，学生探究学习．

教学手段

计算机、投影仪．

教学过程

创设情境，引入课题

课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．

下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．

图1 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．

归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．

1．借助图象，直观感知

1问题1：分别作出函数y＝x，y＝x2，y＝的图象，并且观察自变量变化时，函数值有x什么变化规律？

图2 预案：(1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小．

(2)函数y＝x2在[0，＋∞)上y随x的增大而增大，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．

1(3)函数y＝在(0，＋∞)上y随x的增大而减小，在(－∞，0)上y随x的增大而减小．

x引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？

预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识．

【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

2问题1：下图是函数y＝x＋(x＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和x减函数吗？

图3 学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，

需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

问题2：如何从解析式的角度说明f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数？

预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12＜22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．

(3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因为x12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即x12＜x22，

所以f(x)＝x2在[0，＋∞)为增函数．

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2. 【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．

3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

(1)板书定义

(2)巩固概念

判断题：

1①已知f(x)＝，因为f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)是增函数．

x②若函数f(x)满足f(2)＜f(3)，则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数．

③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．

11④因为函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝在(－∞，xx0)∪(0，＋∞)上是减函数．

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？

【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．

掌握证法，适当延展

2【例】证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

x1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，设元

22x1＋－x2＋求差

f(x1)－f(x2)＝xx1222＝(x1－x2)＋x－x

122(x2－x1)2x1x2－21－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x－x)，变形

12x1x2x1x2x1x2∵2＜x1＜x2，

∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，断号

2∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．定论

x2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．

问题：要证明函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任f(x2)－f(x1)意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有＞0可以吗？

x2－x1引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．

【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

2．作业

书面作业：课本习题1.3

A组第1,2,3题．

课后探究：

(1)证明：函数f(x)在区间(a，b)上是增函数当且仅当对任意的x，x＋h∈(a，b)，且h≠0f(x＋h)－f(x)有＞0. h1(2)研究函数y＝x＋(x＞0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

x设计说明

1．教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

2．教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

3．教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

4．教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．

(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．