习题2.1课件配套优秀获奖教案

2.1.2

指数函数及其性质

课后篇巩固提升

基础巩固

1.函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m的值为(

)

A.2 答案D 2.已知对于任意实数a(a>0,且a≠1),函数f(x)=7+ax-1的图象恒过点P,则点P的坐标是(

) A.(1,8) C.(0,8) B.(1,7) D.(8,0) B.1 C.3 D.2或-1 解析由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.

解析在函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)中,当x=1时,f(1)=7+a0=8.所以函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(1,8).故选A.

答案A 3.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是(

) A.C.

B.D.

解析∵-2≤x<2, ∴-2<-x≤2,∴3-2<3-x≤32, ∴-<3-x-1≤8,即y∈答案A 4.已知函数f(x)=A.3 B.5 则f+fC.

=(

) D.

.

解析∵f答案A =f-1=-1=1,f=2,∴f+f=1+2=3,故选A.

5.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是(

)

解析当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0

图象与x轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴上方,故选项D不正确,选项C正确.

答案C 6.已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为(

) A.a>b>c

C.c>a>b

B.b>a>c

D.b>c>a

解析∵3>1,0<0.2<1,∴a=30.2∈(1,3).

∵b=0.2-3=c=(-3)0.2=(-3答案B 7.若函数y==53=125, <0,∴b>a>c.

的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是

.

解析由ax-1≥0,知ax≥1.当x≤0时,ax≥1成立,再结合指数函数的单调性知,0

答案0

.

解析∵f(x)是指数函数,且f(3)

答案(-∞,0) 9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点(1)求a的值; (2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.

解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点(2)由(1)得f(x)=所以函数y=f(x)+1=,所以a2-1=a=.

,其中a>0且a≠1.

(x≥0),函数为减函数,当x=0时,函数取最大值2,故f(x)∈(0,2], +1(x≥0)∈(1,3], 故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].

10.判断函数f(x)=1-的奇偶性.

解方法一:函数f(x)的定义域为R.

∵f(x)=1-, f(-x)==-=-f(x).

即f(-x)=-f(x),∴f(x)是R上的奇函数.

方法二:函数的定义域为R.

∵f(-x)+f(x)=∴f(x)是奇函数.

=0, 能力提升

1.函数y=a|x|+1(a>0且a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为(

)

解析由题意易知,函数y=a+1为偶函数,且y>1,排除A,B.

当a>1时,函数图象在[0,k]上单调递增,但图象应该是下凸,排除D.∴选C.

答案C 2.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是(

) A.2 B.3 C.4 D.6 解析画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示.

|x|

由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,即M的最小值为4,故选C.

答案C 3.已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数,则a=

.

解析(方法一)∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数, ∴f(0)=0,即a-=0.∴a=.

经检验a=满足要求.

(方法二)∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),

即a-答案

4.函数y=-a,解得a=.

的值域为

.

解析由题知函数的定义域为R.

∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 又y=为减函数, .

的值域为.

∴故函数y=答案

5.已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3,当0≤x1

.

解析作出函数图象,如图所示,由图可知x1+x2=2,1-x1=x2-1=,得x2=+1,

则(x1+x2)x2f(x3)=2令t=,x3∈(2,3],得t∈, .

又y=2(t+1)t=2t2+2t, 则y的取值范围为答案

.

6.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).

(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值; (2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围; (3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.

解(1)因为f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以解得a=,b=-3.

(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1), 因为f(0)=1+b<0,即b<-1, 所以b的取值范围为(-∞,-1).

(3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示.

由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为m=0或m≥3.

7.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,f(x)>1.

(1)求f(0); (2)证明:f(x-y)=; (3)判断f(x)的单调性.

(1)解令x=1,y=0,得f(1)=f(1)·f(0), 由条件知f(1)≠0,∴f(0)=1.

(2)证明设x<0,则-x>0.

令y=-x,则有f(0)=f(x)·f(-x)=1, ∴f(x)=.∵f(-x)>1,∴0

又f(x-y)·f(y)=f(x-y+y)=f(x),且f(y)≠0, ∴f(x-y)=.

(3)解由(2)知,对任意x∈R,都有f(x)>0.

设x1,x2是R上任意两个值,且x10,∴f(x2-x1)>1.

f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1) =f(x1)-f(x2-x1)·f(x1) =f(x1)[1-f(x2-x1)]<0, ∴f(x1)

8.已知函数f(x)=ax+(1)求实数t的值; (a>0,a≠1)是奇函数.

(2)若f(1)>0,不等式f(x2+bx)+f(4-x)>0在x∈R上恒成立,求实数b的取值范围;

(3)若f(1)=且h(x)=a2x+-2mf(x)在x∈[1,+∞)上最小值为-2,求m的值.

解(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数, 所以f(0)=0,所以1+(1-t)=0,所以t=2.

(2)由(1)知,f(x)=ax-(a>0,a≠1), 因为f(1)>0,所以a->0.

又a>0且a≠1,所以a>1, 所以f(x)=ax-在R上单调递增.

又f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(x2+bx)+f(4-x)>0, 即f(x2+bx)>f(x-4),所以x2+bx>x-4, 即x2+bx-x+4>0在x∈R上恒成立, 所以Δ=(b-1)2-16<0, 即-3

(3)因为f(1)=,所以a-解得a=2或a=-(舍去), 所以h(x)=22x+=-2m-2m+2.

,则g(u)=u2-2mu+2, 在R上为增函数,且x≥1,

, 令u=f(x)=2x-因为f(x)=2x-所以u≥f(1)=.

因为h(x)=22x+为-2.

-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,所以g(u)=u2-2mu+2在上的最小值因为g(u)=u2-2mu+2=(u-m)2+2-m2的对称轴为u=m,所以当m≥时,g(u)min=g(m)=2-m2=-2,解得m=2或m=-2(舍去);当m<时,g(u)min=g综上可知m=2.

-3m=-2,解得m=.