习题1.2公开课参赛课教案

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。

( 6 )x0中x0

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：

（1）直接法

（2）图象法（数形结合）

（3）函数单调性法

（4）配方法

（5）换元法

（包括三角换元）

（6）反函数法（逆求法）

（7）分离常数法

（8）判别式法

（9）复合函数法

（10）不等式法

（11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析

1、定义域问题

例1

求下列函数的定义域：

11；②

f(x)3x2；③

f(x)x1

x22x1解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

x21而x2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是x|x2. x22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x2无意义，

32而3x20，即x时，根式3x2才有意义，

32∴这个函数的定义域是{x|x}. 3①

f(x)③∵当x10且2x0，即x1且x2时，根式x1和分式∴这个函数的定义域是{x|x1且x2} 1

同时有意义，

2xx10另解：要使函数有意义，必须：





2x0例2 求下列函数的定义域：

①f(x)x1

x2x23x4

x124x1

②f(x)2

1

③f(x)11111x

④f(x)(x1)0xx

⑤yx23313x7

解：①要使函数有意义，必须：4x1

即：

3x3

∴函数f(x)24x21的定义域为：

[3,3]

x23x40x4或x1②要使函数有意义，必须：

x3且x1x120

x3或3x1或x4

∴定义域为：{ x|x3或3x1或x4} x01③要使函数有意义，必须：

10



x11011x1

∴函数的定义域为：{x|xR且x0,1,}

2④要使函数有意义，必须：

x0x1

x12x10x1



x0xx0

∴定义域为：x|x1或1x0

x230xR7

⑤要使函数有意义，必须：



x3x703777即

x<

或

x>

∴定义域为：{x|x}

333例3

若函数yax2ax21的定义域是R，求实数a 的取值范围

a解：∵定义域是R,∴axax10恒成立，

aa01∴等价于0a2

a24a0a例4 若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x)f(x)的定义域

1414解：要使函数有意义，必须：

2

151x1x44131x1x441414343x3

54443x43

4∴函数yf(x)f(x)的定义域为：x|例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在

[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）

解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，

∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，

∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域。

答案：－1≤x2≤1

x2≤1－1≤x≤1

2练习：设f(x)的定义域是[3，2]，求函数f(x2)的定义域

解：要使函数有意义，必须：3

∵

x22

得：

1x22

x≥0

∴

0x22

0x642

∴

函数f(x2)的定域义为：x|0x642



例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，

x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

5已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。,2）

2（提示：定义域是自变量x的取值范围）

练习：

已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是

Ａ．1,1

已知函数fxＡ．A（

）

Ｂ11,

22

Ｃ．,1

21

Ｄ．0,

2

（

）

11xfx的定义域为Ａ，函数yf的定义域为Ｂ，则 1xBB

Ｂ．BA

Ｃ．ABB

Ｄ．

AB

3

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数yk(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；

x二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，

22(4acb)(4acb)}. 当a>0时，值域为{y|y}；当a<0时，值域为{y|y4a4a例1

求下列函数的值域

2①

y=3x+2(-1x1)

②f(x)（

1x3）3x③

yx1（记住图像）

x解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②略

③

当x>0，∴yx121)22，

=(xxxy(x当x<0时，121)22

)=－(xxx43∴值域是(,2][2，+).（此法也称为配方法）

-612fx = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246函数yx1的图像为：

x-4二次函数在区间上的值域(最值)：

例2

求下列函数的最大值、最小值与值域：

①yx24x1；

②yx24x1,x[3,4]；

③yx24x1,x[0,1]；

④yx24x1,x[0,5]；

解：∵yx24x1(x2)23，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.

4 y321-2-1O-1-2-3123456x

②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2

[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2

[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数f(x)ax2bxc(a0), ⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当x2b时，其最小值ymin(4acb)；

2a4a2b(4acb). ②当a<0时，则当x时，其最大值ymax2a4a⑵若定义域为x

[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若x0[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，

再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值. ②若x0[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的值域为

3,

.

2、求函数yx2x5,x0,5

的值域

2解：

对称轴

x10,5

x1时,ymin4

x5时,ymax20

值域为4,20例3

求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

5

解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，

所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x

的值域。(答案：｛y|y≥3｝) 法二：换元法(下题讲) 例4

求函数yx21x

的值域

解：（换元法）设1xt，则yt22t1(t0)

对称轴t10,，且开口向下

当t1时，ymax2

值域为,2

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

例5

（选）求函数yx35x

的值域

解：（平方法）函数定义域为：x3,5

y2(x3)(5x)2x28x15

由x3,5,得x28x150,1y2,42

原函数值域为2,21x1

设xcos0,

例6

（选不要求）求函数yx1x2的值域

解：（三角换元法）

ycossincossin2sin()1,24

原函数的值域为1,2小结：（1）若题目中含有a1，则可设

asin,222(或设acos,0)

2（2）若题目中含有ab1则可设acos,bsin，其中02

（3）若题目中含有1x2，则可设xcos，其中0

（4）若题目中含有1x2，则可设xtan，其中

6 22

（5）若题目中含有xyr(x0,y0,r0)，则可设x其中0,rcos2,yrsin2



2y 4

例7

求yx3x1

的值域

,x14解法一：（图象法）可化为

y22x,1x3

如图，

4,x3观察得值域y4y4

-1 -4 0 1 3 x 解法二：（零点法）画数轴

利用ab表示实数a,b在数轴上的距离可得。

-1 x

0 3 解法三：（选）（不等式法）

x3x1(x3)(x1)4x3x1(x1)4x1x14x14

同样可得值域

练习：yxx1的值域呢？

（1,）（三种方法均可）

例8

求函数y932(x0,1)

的值域

xxx解：（换元法）设3t

，则

1t3

原函数可化为

yt2t2,对称轴t

t1时,ymin11,322;t3时,ymax8

值域为2,8例9求函数y13x22x

的值域

t1解：（换元法）令tx2x(x1)1，则y(t1)

322

由指数函数的单调性知，原函数的值域为,

例10

求函数

y2x13y 1 (x0)

的值域

0 7 解：（图象法）如图，值域为0,1

x

例11

求函数yx1

的值域

x2解法一：（逆求法）解出x,x12yyy1

观察得原函数值域为1yx23311

，可得值域yy1

x2x2axb(c0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为小结：已知分式函数ycxd解法二：（分离常数法）由yyya，采用部分分式法将原函数化为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）cadac(adbc)，用复合函数法来求值域。

yccxdb3x例12

求函数yx

的值域

31解法一：（逆求法）3xy01y0y1

原函数的值域为0,1

1t小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。

解法二：（换元法）设31t

，

x3x1111t1

11则yxxt31311t101t0y1

1 0 1 t

原函数的值域为01

2x1练习：y=x；（y∈(-1，1)）.21x21例13

函数y2

的值域

x1解法一：（逆求法）x2

2t1y01y1y1

原函数的值域为1,1

解法二：（换元法）设x1t

，则

20 1 t221y1

t原函数值域即得t10

8 2

解法三：（判别式法）原函数可化为

(y1)x20xy10

1）

y1时

不成立

2）

y1时，004(y1)(y1)01y1

1y1

综合1）、2）值域{y|1y1}

解法四：（三角换元法）xR设xtan,，则

221tan2ycos22,cos21,1

1tan2

原函数的值域为{y|1y1}

例14

求函数y5的值域

2x24x35 解法一：（判别式法）化为2yx24yx(3y5)0

1）y0时，不成立

2）y0时，0得

5

t0 1 t(4y)8y(3y5)00y5

0y5

综合1）、2）值域{y|0y5}

2解法二：（复合函数法）令2x4x3t，则y5

tt2(x1)211

0y5

所以，值域{y|0y5}

例15

函数yx11的值域

x2解法一：（判别式法）原式可化为

x(1y)x10

0(1y)240y3或y112y3

x9 原函数值域为,13,解法二：（不等式法）1）当x0时，x

2）

x0时，x11(x)2x(x)y1

综合1）2）知，原函数值域为,13,

x22x2(x1)的值域

例16 (选) 求函数yx1解法一：（判别式法）原式可化为

x2(2y)x2y0

0(2y)24(2y)0

x1y2舍去y2或y2

2,原函数值域为(x1)211x12(x1)

解法二：（不等式法）原函数可化为

yx1x1

当且仅当x0时取等号，故值域为2,

x22x2(2x2)的值域

例17 （选）

求函数yx1解：（换元法）令x1t

，则原函数可化为yt1(1t3)。。。

tax2bxc小结：已知分式函数y(a2d20)

，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条2dxexf件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

（选）y二次式一次式(或y)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果一次式二次式a(x0)的单调性去解。

x不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数yx

练习：

1

、yx219(x0)；

x22解：∵x0，yx1129(x)11，∴y11. xx2192911(或利用对勾函数图像法) x22另外，此题利用基本不等式解更简捷：yx2

、y0

22x4x33

、求函数的值域

①yx2x；

②y24xx2

10

解：①令u2x0,则x2u2, 2原式可化为y2uu(u)∵u0，∴y1229, 499，∴函数的值域是（-，]. 442②解：令

t=4xx0 得

0x4

在此区间内

(4xx)max=4

，(4xx)min

=0 ∴函数y24xx2的值域是{ y| 0y2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

222x1(x1)解法1：将函数化为分段函数形式：y3(1x2)，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是2x1(x2){y|y3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+].

如图

x-1O12

-1Ox12

-1O12x

5、求函数y2x41x的值域

解：设

t1x

则

t0

x=1t

代入得

yf (t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24

∵t0

∴y4 2x25x66、（选）求函数y2的值域

xx6方法一：去分母得

(y1)x+(y+5)x6y6=0

①

当

y1时

∵xR

∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0 由此得

(5y+1)0

2221515检验

y

（有一个根时需验证）时

x2（代入①求根）

562()5

11

∵2 

定义域

{ x| x2且

x3}

∴y

再检验

y=1 代入①求得

x=2

∴y1 151x25x6综上所述，函数y2的值域为

{ y| y1且

y} 5xx6方法二：把已知函数化为函数y(x2)(x3)x36

(x2) 1(x2)(x3)x3x3111x25x6

由此可得

y1，∵

x=2时y即

y∴函数y2的值域为

{ y| y1且

y}

555xx6

12