复习参考题教学内容

学习目标

1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用；2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用；3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．

知识点一

对数概念及其运算

1．a>0，且a≠1 logN⇒aa＝N. 由指数式对数式互化可得恒等式：logaN＝b

ab＝N2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即N>0；

(2)loga1＝0；

(3)logaa＝1. 3．运算公式

已知a>0且a≠1，M、N>0. (1)logaM＋logaN＝loga(MN)；

M(2)logaM－logaN＝loga；

N3logaMm＝nlogaM；

nm1logcM(4)logaM＝＝

(c>0，c≠1)．

logcalogaM知识点二

对数函数及其图象、性质

函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数．

(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R；

(2)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象过点(1,0)；

(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；

当0

(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象交点为(a,1)．

类型一

对数式的化简与求值

例1

(1)计算：log(2＋3)(2－3)；

2)x－y(2)已知2lg＝lg x＋lg y，求log(3－22解

(1)方法一

利用对数定义求值：

设log(2＋3)x.

y(2－3)x,

1－则(2＋3)x＝2－3＝＝(2＋3)1，

2＋3∴x＝－1. 方法二

利用对数的运算性质求解：

log(2＋(2－3)log(2＋3)-1(2+3)-1.

3)3)1

2+3=log(2＋x－y2(2)由已知得lg()＝lg xy，

2x－y2∴()＝xy，即x2－6xy＋y2＝0. 2xx∴()2－6()＋1＝0. yyx∴＝3±22. yx－y＞0，∵x＞0，y＞0，

xx∴＞1，∴＝3＋22，

yylog(3－22)x＝log(3－2y2)(3＋22)

＝log(3－21＝－1.

2)322反思与感悟

在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与

对数互化．

跟踪训练1

(1)计算：log271＋log212－log242－1＝________. 482(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________. 3答案

(1)－

(2)2 2解析

(1)原式＝log2＝log27×12

48×42×27＋log212－log242－log22 481＝log2

22＝log22

3＝－. 2(2)∵f(ab)＝lg(ab)＝1. ∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2. 类型二

对数函数图象的应用

1例2

已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈[，2]都有|f(x)|≤1成立，试求a3的取值范围．

解

∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．

32

111由图示，要使x∈[，2]时恒有|f(x)|≤1，只需|f()|≤1，即－1≤loga≤1，

33311－－即logaa1≤loga≤logaa，亦当a＞1时，得a1≤≤a，即a≥3；

3311－当0＜a＜1时，a1≥≥a，得0＜a≤. 331综上所述，a的取值范围是(0，]∪[3，＋∞)．

3跟踪训练2

已知函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是(

) A．(22，＋∞)

C．(3，＋∞)

答案

C B．[22，＋∞) D．[3，＋∞)

解析

画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．

∵0＜a＜b，f(a)＝f(b)，∴0＜a＜1，b＞1，

∴lg a＜0，lg b＞0. 又f(a)＝f(b)，∴－lg a＝lg b，ab＝1，

12∴b＝，∴a＋2b＝a＋，

aa2又0＜a＜1，函数t＝a＋在(0,1)上是减函数，

a22∴a＋＞1＋＝3，即a＋2b＞3. a1类型三

对数函数的综合应用

例3

已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．

解

(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，

则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，

∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，

∴－y＝loga(－x＋1)，

即y＝g(x)＝－loga(1－x)．

x＋1(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m. 1－x1＋x2设F(x)＝loga＝loga(－1＋)，x∈[0,1)，

1－x1－x由题意知，只要F(x)min≥m即可．

∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0. 故m≤0即为所求．

跟踪训练3

已知函数f(x)的定义域是(－1,1)，对于任意的x，y∈(－1,1)，有f(x)＋f(y)＝fx＋y，且当x＜0时，f(x)＞0. 1＋xy1－x(1)验证函数g(x)＝ln，x∈(－1,1)是否满足上述这些条件；

1＋x

(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．

1－x1－y解

(1)因为g(x)＋g(y)＝ln＋ln

1＋x1＋y＝ln1－y1－x－y＋xy1－x·＝ln，

1＋x＋y＋xy1＋x1＋yx＋y1－1＋xyx＋y1－x－y＋xyg＝ln＝ln，

x＋y1＋x＋y＋xy1＋xy1＋1＋xyx＋y成立．

所以g(x)＋g(y)＝g1＋xy1－x又当x＜0时，1－x＞1＋x＞0，所以＞1，

1＋x1－x所以g(x)＝ln＞0成立，

1＋x1－x综上g(x)＝ln满足这些条件．

1＋x(2)发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．

因为x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，

所以f(0)＝0. 将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0⇒f(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．

又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数．

x－y，

因为f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)＝f1－xyx－yx－y＞0，

当－1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f1－xy1－xy即f(x)－f(y)＞0⇒f(x)＞f(y)，

所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数．

71．若logxy＝z，则(

) A．y7＝xz

C．y＝7xz

答案

B B．y＝x7z

D．y＝z7x

解析

由log7y＝z，得xz＝7xy，

∴7y7＝(xz)7，则y＝x7z. 2．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于(

) A．b

B．－b

C.1b

D．－1b

答案

B 解析

f(－x)＝lg1＋x1－x－11－x1－x＝lg(1＋x)＝－lg1＋x

＝－f(x)，

则f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b. 3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为(

) A．[－1,1]

B．[12，2]

C．[1,2]

D．[2，4] 答案

D 解析

∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即1≤2x2≤2. ∴y＝f(x)的定义域为[12，2]，即12≤log2x≤2，

∴2≤x≤4. 4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(A.14

B.12

C．2

D．4 答案

B 解析

函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，

令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，

y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．

因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0) ＝a＋log2＋1＋0＝a，解得a＝1a2. 25．已知a3＝49a0则log2a＝

________. 3答案

3 解析

设log＝x则a＝23x2a，

3)

42x222[()]3＝()，又a＝，

339x2223()＝()2，即

33232∴x＝2，解得x＝3. 3

1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．

2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．

3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式logamb活应用．

4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．

5．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．

6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．

nn1logab,

logab＝loga在解题中的灵bm

一、选择题

1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(

) A．logab·logcb＝logca

B．logab·logca＝logcb

C．loga(bc)＝logab·logac

D．loga(b＋c)＝logab＋logac

答案

B 1logab解析

logab·logca＝logab·＝＝logcb，故选B. logaclogac2．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(

) 1A.

60B．60

200C.

3答案

B 3D.

200111解析

由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝12244011111－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60. 12122440603．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是(

) A．(0,1)

C．(0,1)∪(1,3)

答案

B 解析

记u＝(3－a)x－a，

当1＜a＜3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数，

u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数，

∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求．

当a＞3时，y＝logau在其定义域内为增函数，

而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数，

∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．

当0＜a＜1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(

) B．(1,3) D．(3，＋∞)

答案

A 解析

本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0,0)点，排除B、D. 15．当0

) 2A．(0，2)

2B．(2，1) 2C．(1，2)

答案

B D．(2，2) 1解析

∵04x>1，

2∴0

111取a＝，x＝，则有42＝2，log1＝1，显然4x

f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，

则是“同形”函数的是(

) A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x) C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x) 答案

A 解析

因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A. 二、填空题

7．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．

2答案

3解析

由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时x＝1，当112f(x)＝1时x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，

3332所以b－a的最小值为. 38．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 答案

2 解析

原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2. 9．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．

答案

[2，4] 1－解析

∵－1≤x≤1，∴21≤2x≤2，即≤2x≤2. 211∴y＝f(x)的定义域为[，2]，即≤log2x≤2，

22∴2≤x≤4.

1－4x－22＋1，0≤x≤1，10．已知函数f(x)＝若f(a)＝f(b)＝f(c)，a，b，c互不相等，则log2 014x，x>1，a＋b＋c的取值范围是________．

答案

(2,2 015) 解析

直线y＝m交函数f(x)的图象如图所示，不妨设a

三、解答题

111．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)>f(lg )，求xx的取值范围．

解

因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，

所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，

1所以不等式f(1)>f(lg )可化为

x11lg >1或lg <－1，

xx111所以lg >lg 10或lg

xx10111所以>10或0<<，

xx101所以010. 101所以x的取值范围为(0，)∪(10，＋∞)．

1012．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．

(1)求y＝f(x)的定义域；

(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；

(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

a解

(1)由ax－bx＞0，得()x＞1，且a＞1＞b＞0，

ba得＞1，所以x＞0，

b即f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，

则ax1＞ax2＞0，bx1＜bx2，

所以ax1－bx1＞ax2－bx2＞0，

即lg(ax1－bx1)＞lg(ax2－bx2)．

故f(x1)＞f(x2)．

所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．

故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．

(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

13．已知f(x)＝－x＋log2

1－x. 1＋x11－(1)求f＋f2 0142 014的值；

(2)当x∈[－a，a](其中a∈(0,1)，且a为常数)时，f(x)是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

1－x解

(1)由＞0，得－1＜x＜1，

1＋x所以f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称．

1＋x又f(－x)＝－(－x)＋log2

1－x1－x＝－－x＋log2＝－f(x)，

1＋x所以f(x)为奇函数，

11－所以f＋f2 0142 014＝0. (2)f(x)在[－a，a]上有最小值．

任取x1、x2满足－1＜x1＜x2＜1，

1－x11－x22x2－x1则－＝. 1＋x11＋x21＋x11＋x2因为－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，(1＋x1)(1＋x2)＞0，

1－x11－x21－x11－x2所以＞，log2＞log2. 1＋x11＋x21＋x11＋x21－x所以函数y＝log2在(－1,1)上是单调减函数，

1＋x

1－x从而得f(x)＝－x＋log2在(－1,1)上也是单调减函数．

1＋x又x∈[－a，a]，a∈(0,1)，

1－a所以f(x)有最小值，且最小值为f(a)＝－a＋log2. 1＋a