复习参考题优质课教案整理

比大小问题的解题方法与策略（两课时）

年 月 日

年 级

高三1615,1616

科

目

数学

教

师

肖海错

课 题

比大小问题的解题方法与策略

教材知识回顾：函数、不等式

六年高考考查分析：

2018 2017 全国卷

2018全国2017全国Ⅲ理

Ⅰ理

地方卷

2018天津2017天津理.文

理.文

教

材

分

析

教

学

目

标

2014辽宁理.文

2014安徽文

2014天津文

2014山东理.文

1．知识与技能：掌握比大小的常见方法，培养学生的分析归纳能力；

2．过程与方法：教师主导，学生主体，学生自主练习、自主归纳、自主探究；

3．情感、态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养独立思考与合作探究的个性品质。

4. 核心素养：运算能力，直观想象，逻辑推理

2016 2016全国Ⅰ理.文

2016北京理.文

2015

2015天津理文

2015北京文

2015山东文

2014

2013 2013全国

Ⅱ理.文

重

点

1. 教学重点：解题方法的比较与选择

难

点

2. 教学难点：化归转化思想的应用

教

法

自主探究：练习（独立思考）、讨论（合作分享）

学

法

【教考分析】

【课内演练】第一层：基础训练，知识考点与方法归纳

01．设alge,b(lge)2,clge，则（ ）。

A. abc B. acb C. cab D. cba

解析：作差比较、作商比较。

教

学

过

程

设

计

1e10，ablge(1lge)0，aclge(1)0，bclge(lge)lgelg

2210a1abacb。或者：a,b,c0,ln101，21,2lgelge21。

ccblge102．（2018天津理改编）设alog2e，bln2，clog1，dlog13，则a,b,c,d的大322小关系为（ ）。

A. abcd B. bacd C. cbad D. cabd

解析：中间值、函数单调性

clog23log2ea1ln2b0log13d

203. 已知S121xdx,S2exdx,S3x2dx，则S1,S2,S3的大小关系为( )。

1122A. S1S2S3 B. S1S3S2 C. S3S2S1 D. S2S3S1

解析：数形结合、函数图像

31327x22，S2e1ee，S3x1，S1S3S2

233x2或者：画yx,ye,yx的图像观察面积得结果。

04.（2016北京理）已知xy0，则( )。

S12112x2xy1111A.0 B.sinxsiny0 C.0 D.lnxlny0

xy22第

页

解析：特殊值排除、函数单调性

取x2,y1，A错；取x2π,yπ，B错；取x1,y1111，D错。y],，A错；2xxy1ysinx不单调，B错；y()x]，C对；xy不一定大于1，D错。

2小结：比大小问题的解题方法

●比较法：作差法、作商法 ●中间值、单调性法

●数形结合思想、图像法 ●选择题的特殊值法（特值否定排除）

【课内演练】第二层：典例研究，一题多解与一题多变

01. （2017全国Ⅰ理）设x,y,z为正数，且2x3y5z，则( )。

A. 2x3y5z B. 5z2x3y C. 3y5z2x D. 3y2x5z

解析：

解法一：比较法（作差、作商）

令235k(k1)，则xlog2k,ylog3k,zlog5k，x,y,z0

xyz2x2log2k2lg32x2log2k2lg5log891，log32251，3y2x5z

3y3log3k3lg25z5log5k5lg2解法二：等价变形，局部比大小

2x2log2klnklnklnk,3y3log3k3,5z5log5k5

ln2ln3ln5法1：只需比较2,33,55的大小：

262363233，21025105255，55233，3y2x5z

ln2ln3ln5,,法2：只需比较的大小：

235lnx1lnx,φ(x)设φ(x)，易得φ(x)在(0,e)Z,(e,)]，又φ(2)φ(4)，

xx2φ(3)φ(4)φ(2)φ(5)，3y2x5z

532变式训练01：设x,y,z为正数，且2x3y5z，则,,的大小关系为 。

xyz解析：函数单调性

5325logk2logk32,3logk3logk27,2logk5logk25，

xyz235h(x)logkxZ(k1)，。

zyx变式训练02：设x,y,z为实数，且2x3y5z，则下列关系中，可能成立的个数是( )。

①xyz，②xyz，③xyz

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：数学结合、函数图像

画出y2,y3,y5的图像，由图可知三种情况均有可能成立。

xxx

小结：比大小问题的解题方法

第

页

【课内演练】第三层：典例研究，数学思想与思维提升

02.（2018全国Ⅲ理）设alog0.20.3，blog20.3，则( )。

A. abab0 B. abab0 C. ab0ab D. ab0ab

解析：等价变形，化归思想

1111log0.30.2,log0.32，则log0.30.4，

abab11ab01，即01，abab,ab0，abab0。

abab变式训练01：（2013全国Ⅱ理）设alog36,blog510,clog714，则( )。

A. cba B. bca C. acb D. abc

a0,b0，则ab0，解析：等价变形，化归思想，函数单调性

111，b1log521，c1log721，

log23log25log27ylog2xZ，log23log25log27，abc。

变式训练02：（2016全国Ⅰ理）若ab1,0c1，则( )。

A. acbc B. abcbac C. alogbcblogac D. logaclogbc

a1log321解析：等价变形，化归思想，方程函数思想，数形结合思想

1知A,B,D错误，选C。

2ccc1c1cccc1法2：yxZ，则ab，A错；yx]，则ba，即abba，B错；

abalnablnb，设f(x)xlnx，易证f(x)Z，C对；

对于C：lnblna11lnblna，由ylnxZ知D错。

对于D：lnalnb法1：特值法：令a3,b2,c

【专题总结】

比大小问题的解题方法、思想与策略

●基本方法：比较法（作差、作商）

●方程函数思想：单调性法（中间值）

●数形结合思想：图像法

●等价化归思想：等价变形，熟悉化

●解题策略：特殊值排除法

【巩固训练】

11101. (2014辽宁理、文) a23,blog2,clog1，则( )。

332A. abc B. acb C. cab D. cba

11解析：clog23123a0log2b。

302.（2016全国Ⅲ文理、文）已知a2,b3,c25，则( )。

A. cab B. cba C. acb D. bac

解析：a4,c5,yx在(0,)Z，345，bac。

03. 设aln22,bln(ln2),cln2,dln2(e2.72)，则( )。

A. dbac B. cdab C. acdb D. dacb

232323232323432313第

页

解析：0ln21,bln(ln2)01ln2ln2cln22aln2d。

2a04. 已知0a1，则a，baa，caa的大小关系为( )。

A. bca B. cab C. cab D. bac

aaaa，即acb。

05. 已知三个函数f(x)2xx,g(x)x2,h(x)log2xx的零点依次为a,b,c，

解析：ya(0a1)]，则aaa，则a则( )。

A. cba B. bca C. cab D. bac

解析：等价变形，化归思想，方程函数思想，数形结合思想

g(2)0，b2，易知f(x)Z,h(x)Z,h(2)0，ab,cb. 法1：f(1)0,f(0)0，a(1,0)；h()0,h(1)0；c(,1)，acb。

法2：作为y2x,ylog2x,yx的图像，可知ac，acb。

06. 已知x,yR,且axbyaybx(ba1)，则( )。

A. sinxsiny B. x2y2 C. 5x5y D. log1xlog1y

77x0a1a0a11212ayby，设f(x)axbx(ba1)，则f(x)Z，则xy

ππxyx由y5Z，55，C对；取x,yπ,sinsinπ，A错；

2222取x2,y1,(2)(1)，B错；取x2,y1，D不成立。

其实：B等价于xy，D等价于xy0。

解析：abxx板

书

设

计

教

学

后

记

第

页

函数零点个数问题解题策略

高三1603

年 级

科

目

课 题

函数零点个数问题解题策略

数学

年 月 日

屈检嗣

教

师

教材知识回顾：函数、导数

六年高考考查分析：

2018 2017 2016 新课2018新课标2017新课2017新课标卷

Ⅰ理

标III理

标Ⅱ理

教

材

地方2018浙江理；

2017江苏.

2016天津

理；2016分

析

卷

2018天津理；2018江苏.

山东理.

2015

教

学

目

标

2015安徽理；2015天津理；

2015湖南理；

2015安徽理；

2015北京理；

2015江苏

2015湖北理

1．知识与技能：掌握解决函数零点问题的常见方法，培养学生分析和解决问题的能力；

2．过程与方法：教师主导，学生主体，学生自主练习、自主探究、自主归纳；

3．情感、态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养独立思考与合作探究的个性品质。

4. 核心素养：数学抽象，直观想象，逻辑推理

2014 2014新课标Ⅱ理

2014湖南理；

2014天津理；

2014浙江理；

2013 2013全国

Ⅱ理.文

2013重庆理；

2013湖南理；

2013安徽理；

2013天津理

重

点

1. 教学重点：解题方法的归纳和提升

难

点

2. 教学难点：方法的切入和方法最优选择

教

法

自主探究：练习（独立思考）、讨论（合作分享）

学

法

【课内演练第一层：基础训练，方法归纳】

ππ的零点个数为________．

01．（2018全国新课标Ⅲ理）函数fxcos3x在0，6解析：方程法

由f(x)cos(3x6)0，有3x6kk(kZ)，解得x，由239教

学

过

程

设

计

0k得k可取0,1,2，∴f(x)cos(3x)在[0,]上有3个零点. 39602.（2013重庆理改编）若abc,则函数fxxaxbxbxcxcxa的零点个数为 . 解析：特殊值法，判别式法，单调性法

答案：2

03.（2013湖南理改编）函数fx2lnxx4x5的零点个数为（ ）

2A.3 B.2 C.1 D.0 解析：图象法 单调性法

答案：B 小结：不含参数的函数零点个数问题的常见解法

●方程法 ●单调性法 ●图像法

第

页

【课内演练第二层：典例研究，思维提升】

例1：函数yx3(3a1)x22a(a1)x有两个零点，则实数a的范围为

0,1,1

. 解析：构造方程，因式分解，将根解出，考虑等根情况，解得实数a的范围为0,1,1.

ex，x0，g(x)f(x)xa．若g（x）例2.（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数f(x)lnx，x0，存在2个零点，则a的取值范围是（

）

A．[–1，0）

B．[0，+∞）

C．[–1，+∞）

D．[1，+∞）

解析：法一：图象法1

∵g(x)f(x)xa存在2个零点，即yf(x)与yxa有两个交点，f(x)的图象如下：

教

学

过

程

设

计

要使得yxa与f(x)有两个交点，则有a1即a1，∴选C. 法二：图象法2 exx,x0研究函数y与ya交点个数问题.

lnxx,x0法三：

单调性法

exxa,x0研究函数g(x)，当x0时，g(x)lnxxa单调递增，值域为R，lnxxa,x0所以有一个零点；当x0时，g(x)exxa单调递增，x时，g(x)所以要有一个零点，只要g(0)1a0，解得a1. 法四：排除法

小结：含参数的函数零点个数问题的常见解法

●方程法 ●单调性法 ●图像法

【课内演练第三层：挖掘特性，思维升华】

例3.（2017课标3理）已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a=（ ）

A．1 2

B．1

3

C．1

2

D．1 解析：法一：图象法

2x1x1函数的零点满足x2xaee，设gxex1ex1，

则gxex1ex1ex11ex1e2x11ex1，当gx0时，x1，当x1时，gx0，函数gx

单调递减，当x1时，gx0，函数gx

单调递增，当x1时，函数取得最小值g12，设hxx2x

，当x1时，函数取得最大值1，

2第

页

当a0时，由图象知g(1)h(1)时符合题意，此时a疑问：当a0时，到底用不用考虑？怎么考虑？

法二：对称性法

1，因为本题为选择题，所以选择C. 2因为f(x)f(2x)（可通过直观想象先猜测），所以函数f(x)关于x1对称，则f(x)有一个零点，这个零点必为x1，即f(1)0，解得a变式：（小题狂练错题）若函数f(x)＝x2＋2a|x|＋4a2－3的零点有且只有一个，则实数a＝

. 22解析：因为函数f（x）＝x＋2a|x|＋4a－3是偶函数，所以要使其零点只有一个，则这个零点33只能是0.由f（0）＝0得a＝±.当a＝时，f（x）＝x2＋3|x|，它只有一个零点0，符合题2233意；当a＝－时，f（x）＝x2－3|x|，它有3个零点0，－3，3，不合题意，所以a＝. 221.

2【专题总结】

函数零点个数问题（含参数与不含参数）的解题方法

●图象法 ●方程法 ●单调性法 ●对称性法

数学思想

●函数与方程思想 ●数形结合思想

【课后演练】

1．（2012湖北理）函数f(x)xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（

）

A．4

B．5

C．6

D．7 22解析：f(x)0，则x0或cosx0，xk2,kZ，又x0,4，k0,1,2,3,4

所以共有6个解.选C. πx2.（2015湖北理）函数f(x)＝4cos2·cos2－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．

2解析：

f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin 2x(x>－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．

3.（2018江苏）若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0,)内有且只有一个零点，则a

．

2解析：由fx6x2ax0得x0，xa，因为函数fx在0,上有且仅有一个332aaaa零点且f0=1，所以0，f0，因此2a10，a3.

3333

x4,x4.（2018浙江）已知λ∈R，函数f(x)=2，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是x4x3,x___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

第

页

x4,x2解析：∵2，∴f(x)2.当x2时，x40得2x4. x4x3,x2当x2时，x24x30，解得1x2.综上不等式的解集为1x4. 22当yx4x3有2个零点时，4.当yx4x3有1个零点时，yx4有1个零点，13.∴13或4.

x22axa,x0,5．

（2018天津理）已知a0，函数f(x)2若关于x的方程f(x)axx2ax2a,x0.恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是

.

解析：分类讨论：当x0时，方程fxax即x22axaax，整理可得x2ax1，

x2很明显x1不是方程的实数解，则a，当x0时，方程fxax即x1x2x2ax2aax，整理可得xax2，很明显x2不是方程的实数解，则a，

x222x2,x0x21x24x1x12，x24

令gx，其中2x2x2x1x1x,x0x2原问题等价于函数gx与函数ya有两个不同的交点，求a的取值范围．

结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，同时绘制函数ya的图象如图所示，考查临界条件，结合a0观察可得，实数a的取值范围是4,8．

6.(2013安徽理)若函数f(x)＝x＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是(

)．

A．3

B．4

C．5

D．6 解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0得，x＝x1或x＝x2，

即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根为f(x)＝x1或f(x)＝x2的解．如图所示，

3

x1＜x2

x2＜x1

2由图象可知f(x)＝x1有2个解，f(x)＝x2有1个解，因此3(f(x))＋2af(x)＋b＝0的不同实根第

页

个数为3. x1,1x27.已知函数f(x)=，如果g(x)f(x)k(x3)恰有2个不同的零点，那么实12f(x),x22数k的取值范围是

。

201

错解：令g(x)0f(x)=k(x3)，如图所示，易知k13（8，4）2（4，2）2（4，2）23正解：当2x4时，2348111x[1,2)，故f(x)2f(x)2(x1)x2；

222111当4x8时，x[2,4)，故f(x)2f(x)2(x2)x4；…

222由g(x)0f(x)=k(x3)，所以f(x)与yk(x3)有两个不同的交点。

（1）当k0时，yk(x3)与yx4、yx8各有一个交点，且与yx16无交点，k(163)168168故k；

13k(323)321629（2）当k0时，yk(x3)与yx1、yx2各有一个交点，故k(13)01681k0。综上，k(1,0)[,)

2913k(23)21

板

书

设

计

教

学

后

记

第

页

第

页