阅读与思考 集合中元素的个数教学评价实录

利用定点巧解数学问题

刘卫东

河北大城一中

我们知道直线的点斜式yy0k(xx0)，无论k取什么值，直线恒过定点(x0,y0)；直线的斜截式ykxb，无论k取什么值，直线恒过定点(0,b)。通过直线的这两种形式

我们发现无论斜率k怎样变化，直线始终过定点。利用直线恒过定点解决问题，使问题简单化；代数中的指数函数yax(a0且0）过定点0,1，对数函数过定点1,0，也可以通过这样的过定点问题解决不等式问题；对yloagx(a0且0）于直线的斜率公式，我们也可以发现动点与定点连线的斜率变化，可以解决线性规划问题。下面通过五种途径来阐述利用过定点巧解问题。

一、

带有参数的直线过定点问题即直线系。

带有参数的直线，将直线化为点斜式或者斜截式的形式，得到直线过定点，利用过定点解决问题使问题简单化。

例1、已知直线l:5ax5ya30. （1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求a得取值范围. 分析：直线l:5ax5ya30恒过定点，过定点的求法有两种方法，一种是将直线化为点斜式，即有a的放在一起，没a的放在一起，即可求出；另一种给a取值列方程组求定点;为使直线不经过第二象限，由（1）知直线过定点且在第一象限，再由数相结合得a是直线的斜率，直线由过P点由OP一直转到垂直于x轴为止. 解析：（1）方法一

由题意得：直线可化为a(5x1)5y30则5x10解之得

5y301x13135即点（,）所以直线l过定点（,）.此点在第一象限. 5555y35故：无论a为何值时，直线l总经过第一象限。

方法二

由题意知，无论a为何值时，即可给a取值得到

当a0时，5y30即y3-----------①

5当a1时，5x5y30-------------------②

1x13135由①，②得即点（,）所以直线l过定点（,）.此点在第一象限.

5555y35故：无论a为何值时，直线l总经过第一象限。

（2）由（1）知道无论a为何值时，直线恒过定点（,13）

由图像知:

55

kop

P

(

1

,

3

)

5

5

故a的取值范围是[3,)

1

,

3

353

15y55

o

xx二、代数中很多函数也过定点，比如指数函数yax(a0且a0)恒过定点（0,1）；对数函数ylogax

(a0且a0)恒过恒过定点（1,0）.

例2、函数yloga(x1)1(a0,a1)的图象恒过定点M，且点M在直线ymxn上，其中mn0，则11的最小值为______. mn分析：对数函数ylogax

(a0且a0)恒过恒过定点（1,0），函数yloga(x1)1(a0,a1)的图象是由对数函数ylogax向右移动1个单位，再向上移动1个单位，即函数yloga(x1)1(a0,a1)的图象恒过定点M(2,1). 解析：由题意知：函数yloga(x1)1(a0,a1)的图象恒过定点M(2,1).

M(2,1)点在直线ymxn上，即

2mn1.

又mn0

则

1111n2m()(2mn)3322

mnmnmnn2m,即n2m2(21)时，取最小值322）

（当且仅当mn

所以最小值322. 变式：函数ya1x(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(m,n0)上，求11的最小值

mn三、直线的斜率变形中也会遇到定点与任意一点连线的斜率问题，形如求际上可以转化为动点(x,y)与定点b,a连线的斜率。

ya的范围，实xbxy20y1例3、已知，xy40，设z，求z的取值范围

x12xy50

分析：此题是针对线性规划的平面区域问题而言的，首先要画出可行域，在对目标函数z进行变形得到，目标函数z是可行域内的点与定点P（-1，-1）连线的斜率的范围。

解析：

由题意得zy1y(1)

x1x(1)

y

目标函数z是定点P（-1，-1）与可行域内

A(1,3)

的点的连线的斜率

.

B(3,1)

1

P(-1,-1)

kPB,kPA2

2x

故1z2

2

四、直线与圆位置关系中，利用直线过定点找直线与圆的交点个数。

例4、直线(13m)x(32m)y8m120(mR)与圆xy2x6y10的交点个数为______. A、1

B、2

C、

0或2

D、1或2

分析：对于直线和圆的位置关系，可以将直线与圆联系，消掉关于y或者x，得到关于x或22y的二次方程，利用判别式解决，若0则直线与圆有两个交点；若0，则直线与圆有一个交点；若0，则直线和圆没有交点。但是用此方法解决问题计算量大，不易解决，如果能发现直线过定点(0,4)，再由此点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系（注意：若点在园内，过此点作直线，则直线与圆有两个公共点；若此点在圆上，则此点与圆有一个公共点）。

解析：由题意得直线(13m)x(32m)y8m120(mR)可以化简为：

x3y120x0，得到

(x3y12)m(3x2y8)0则有3x2y80y4过得该直线过定点(0,4)，将此点(0,4)代入园x2y22x6y10得此点在园内，

所以过该点的直线与圆恒有两个交点。

五、在直线与抛物线的位置关系中，利用直线过定点巧妙转化求点到直线的距离。

例5、直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x10的距离______. 214k(4x1)4y0，分析：直线4kx4yk0过定点，即：过定点(,0)（由2得定点(,0)）发现定点(,0)恰好是是抛物线yx的焦点，直线x4x10y0141410恰好是抛物2线的准线，焦点弦问题，利用焦点弦长公式求解。

解析：由直线4kx4yk0得，k(4x1)4y0，无论k为何值，直线都过定点

1(,0)，而此点恰好是抛物线y2x的焦点。

4y

由题意得，直线是过焦点的弦,则

A

A1A

|AF||AA1|

,

|BF||BB1|

PP 1

F

|AB||AF||BF|4

x

B1

B

|AA1||BB1|4

则P到直线x10的距离等于|pp1|

2

|pp1|恰好是梯形AA1B1B的中位线。

P到直线x110的距离为42

22综上，我们发现过定点问题在高中阶段解题中占有十分重要的地位，而许多数学问题的解决，利用过定点，使问题转向简单化，而这种思想的应用需要数学中的逻辑思维的训练，通过典型试题讲解和一些具体解题方法的点拨，使学生领悟这种利用定点解决问题的思维方法。本文通过五种途径的阐述，其目的都是将过定点问题的思想方法渗透到所有的数学内容和解题过程中，这种利用过定点巧解问题的思想在本文中得到很好地诠释，希望通过本文让同学们能够更好地利用与过定点有关思维方式去思考问题，解决问题，使其思维能力得到进一步的提升。

姓名：刘卫东

出生年月：1976

性别：男

籍贯：河北省大城县第一中学

职称：中教一级

教学改革：创设高效课堂

联系方式：河北省大城县第一中学

电话：13833620037 邮箱：lwdandwys@126.com

邮编：065900