对顶角、余角和补角名师教学视频（文字实录）

第二章

相交线与平行线

2.1

两条直线的位置关系

第1课时

对顶角、余角和补角

1.能识别对顶角，并掌握它的性质.

2.理解补角和余角的概念及性质，并能进行简单的角度计算.

自学指导

阅读教材P38～39，完成下列问题.

(一)知识探究

1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

2.两条直线相交所成的四个角中，若两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角.对顶角相等.

3.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等.

(二)自学反馈

1.下列图形中，表示∠1和∠2是对顶角的是( D )

2.由∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，得∠2＝∠3，其依据是同角的余角相等.

活动1

小组讨论

例

如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2.

图1

图2 将图1简化为图2，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1＝∠2.在图2中：

(1)有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？

(2)∠3与∠4有什么关系？为什么？

(3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？你还能得到哪些结论？

解：(1)互为补角的有∠1与∠AOC，∠1与∠BOD，∠2与∠BOD，∠2与∠AOC，∠DON与∠CON等.互为余角的有∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠4，∠2与∠3.

(2)∠3与∠4相等.

因为∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2，且∠1＝∠2，

所以∠3＝∠4.

(3)∠AOC＝∠BOD.

因为∠AOC＝180°－∠1，∠BOD＝180°－∠2，且∠2＝∠1，

所以∠AOC＝∠BOD.

结论归纳：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

活动2

跟踪训练

1.已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为( A )

A.30°

B.60°

C.70°

D.150°

2.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( D )

3.下列说法错误的是( B )

A.两个互余的角都是锐角

B.一个角的补角大于这个角本身

C.互为补角的两个角不可能都是锐角

D.互为补角的两个角不可能都是钝角

4.若一个角的余角是这个角的2倍，则这个角的度数为30°.

5.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠BOC＝80°，求∠BOD和∠AOE的度数.

解：由平角的定义，得∠BOD＝180°－∠BOC＝180°－80°＝100°.

由对顶角相等，得∠AOD＝∠BOC＝80°.

因为OE平分∠AOD，

1所以∠AOE＝∠AOD＝40°.

2活动3

课堂小结

学生试述：这节课你学到了什么？

第2课时

垂直

1.理解垂直、垂线、垂足等概念.

2.能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，理解并掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质.

3.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离，理解并掌握“垂线段最短”这一性质.

自学指导

阅读教材P41～42，完成下列问题.

(一)知识探究

1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.

2.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

(二)自学反馈

1.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是( C )

A.20°

B.40°

C.50°

D.60°

2.如图，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是( B )

A.线段OA B.线段OA的长度

C.线段OB的长度 D.线段AB的长度

活动1

小组讨论

例

(1)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说说你的画法和理由；

(2)你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？

(3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！

(4)如图，如何测量跳远成绩？

解：略.

活动2

跟踪训练

1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外.若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上.其理由是( D )

A.经过两点有且只有一条直线

B.在同一平面上，一条直线只有一条垂线

C.垂线段最短

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

2.如图，∠C＝90°，AC＝3，点P是BC边上一动点，则AP的长不可能是( B )

A.3 B.2.8 C.3.5 D.4

3.如图，当∠1和∠2满足条件∠1＋∠2＝90°时，能使OA⊥OB.

4.如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠AOE＝50°，求∠BOC，∠BOF的度数.

解：因为OE⊥CD，∠AOE＝50°，

所以∠DOE＝90°，

∠AOD＝90°－∠AOE＝40°.

因为∠BOC与∠AOD是对顶角，

所以∠BOC＝∠AOD＝40°.

因为OD平分∠AOF，

所以∠DOF＝∠AOD＝40°.

所以∠BOF＝180°－∠BOC－∠DOF＝180°－40°－40°＝100°.

活动3

课堂小结

学生试述：这节课你学到了什么？

2.2

探索直线平行的条件

第1课时

利用同位角判定两直线平行及平行公理

1.了解同位角的概念，并会在简单的图形中辨认同位角.

2.理解并掌握平行公理及其推论的内容，并会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线.

自学指导

阅读教材P44～45，完成下列问题.

(一)知识探究

1.同位角相等，两直线平行.两直线平行，平行用符号“∥”表示.

2.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.平行于同一条直线的两条直线平行.

(二)自学反馈

1.如图，直线a，b被直线c所截，则图中与∠1是同位角的是( B )

A.∠2

B.∠3

C.∠4

D.∠5

2.如图，能判定直线AB∥CD的条件是( D )

A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4

C.∠1＋∠3＝180° D.∠3＋∠4＝180°

活动1

小组讨论

例

(1)你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？

(2)在下图中，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH，那么EF与GH有怎样的位置关系？

解：(1)能过直线AB外一点画直线AB的平行线，只能画1条.

(2)EF∥GH.

活动2

跟踪训练

1.如果∠1，∠2是直线l1，l2被直线l3所截而形成的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是( D )A.∠1＝∠2 B.∠1>∠2

C.∠1<∠2 D.无法确定

同位角相等的前提条件是“两直线平行”.

2.过一点画已知直线的平行线，则( D )

A.有且只有一条 B.有两条

C.不存在 D.不存在或有且只有一条

3.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行.

4.工人师傅在架设电线时，为了检测三条电线是否相互平行，工人师傅只检查了其中两条是否与第三条平行即可，这种做法的依据是平行于同一条直线的两条直线平行.

5.(1)如图所示，b⊥a，c⊥a，请判断b与c的位置关系，并说明理由；

(2)用一句话总结(1)中所包含的规律.

解：(1)b∥c.理由如下：

因为b⊥a，c⊥a，

所以∠1＝∠2＝90°.

所以b∥c.

(2)在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

活动3

课堂小结

学生试述：这节课你学到了什么？

第2课时

利用内错角或同旁内角判定两直线平行

1.了解内错角、同旁内角的概念，并会在简单的图形中辨认内错角、同旁内角.

2.利用“同位角相等，两直线平行”推导判定平行线的另外两种方法，并能运用判定方法2，3进行简单的推理论证，解决有关的计算问题.

自学指导

阅读教材P47～48，完成下列问题.

(一)知识探究

1.两条直线被第三条直线所截形成的角中，如果两个角在被截直线之间，在截线两侧，这样的一对角是内错角；如果两个角在被截直线之间，在截线同侧，这样的一对角是同旁内角.

2.内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

(二)自学反馈

如图，∠3和∠5是直线AB，BE被直线AC所截得的同旁内角，∠2和∠5是直线AB，CD被直线AC所截得的内错角，直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是∠4和∠5.

活动1

小组讨论

例

你能用三块大小相同的三角板(30°，60°，90°)拼接成一个含有平行线段的图形吗？试一试，多拼几个图形，找出平行线段后，说明你的理由.

解：答案不唯一，如下图中，BD∥AE，AB∥CE，AC∥DE.理由略.

活动2

跟踪训练

1.如图，下列说法错误的是( D )

A.∠1与∠3是对顶角

B.∠3与∠4是同位角

C.∠1与∠4是内错角 D.∠1与∠2是同旁内角

2.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( C )

A.AB∥BC B.BC∥CD

C.AB∥DC D.AB与CD相交

3.如图，可以判定AB∥EC的条件是( D )

A.∠B＝∠ACE B.∠A＝∠ECD

C.∠B＝∠ACB D.∠A＝∠ACE

4.如图，如果∠2＝∠6，那么AD∥BC；如果∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°，那么AD∥BC；如果∠7＝∠BCD，那么AB∥CD.

活动3

课堂小结

学生试述：这节课你学到了什么？

2.3

平行线的性质

第1课时

平行线的性质

通过探究，理解平行线的性质，并能用其性质进行相关简单的计算与推理.

自学指导

阅读教材P50～51，完成下列问题.

(一)知识探究

1.两直线平行，同位角相等.

2.两直线平行，内错角相等.

3.两直线平行，同旁内角互补.

(二)自学反馈

1.如图，直线a，b被直线c所截.若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C )

A.120°

B.90°

C.60°

D.30°

2.如图，AB∥CD，∠1＝50°，则∠2的度数是( C )

A.50° B.120° C.130° D.150°

活动1

小组讨论

例

如图所示，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.

(1)∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？

(2)反射光线BC与EF也平行吗？

解：(1)因为AB∥DE，

所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等).

又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3(等量代换).

又因为∠3＝∠4(已知)，所以∠2＝∠4(等量代换).

(2)BC∥EF.

活动2

跟踪训练

1.如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是( D )

A.∠EMB＝∠END B.∠BMN＝∠MNC

C.∠CNH＝∠BPG D.∠DNG＝∠AME

2.如图，已知∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C的度数为35°.

3.如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上.若∠2＝40°，则∠1＝80°.

4.如图，已知AB∥CD∥EF，∠A＝105°，∠ACE＝45°，求∠E的度数.

解：因为AB∥CD，

所以∠A＋∠ACD＝180°.

因为∠A＝105°，

所以∠ACD＝75°.

所以∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝30°.

因为EF∥CD，所以∠E＝∠DCE＝30°.

活动3

课堂小结

平行线的三条性质.

第2课时

平行线的性质与判定的综合

能合理利用平行线的性质与判定进行相关推理和计算.

自学指导

阅读教材P52～53，完成下列问题.

自学反馈

1.如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝60°，则∠4等于( C )

A.80°

B.70° C.60° D.50°

2.如图，已知∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝140°，则∠4等于( A )

A.40° B.36° C.44° D.100°

活动1

小组讨论

例1

如图，AB∥CD，如果∠1＝∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由.

解：因为∠1＝∠2，

根据“内错角相等，两直线平行”，

所以EF∥CD.

又因为AB∥CD，

根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，

所以EF∥AB.

例2

如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝107°，求∠2，∠3的度数.

解：因为a∥b，

根据“两直线平行，内错角相等”，

所以∠2＝∠1＝107°.

因为c∥d，

根据“两直线平行，同旁内角互补”，

所以∠1＋∠3＝180°.

所以∠3＝180°－∠1＝180°－107°＝73°.

活动2

跟踪训练

1.如图，∠3＋∠4＝180°，∠2＝135°，则∠1的度数是( A )

A.45° B.55° C.65° D.75°

2.如图，已知∠AEF＝∠EGH，AB∥CD，则下列判断中不正确的是( C )

A.∠AEF＝∠EFD B.AB∥GH

C.∠BEF＝∠EGH D.GH∥CD

3.如图，直线a，b被直线c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，则∠2＝70°.

4.如图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，要使BC∥DE，那么∠CDE＝50°.

5.如图，已知AB∥DE，∠1＝∠2，直线AE与DC平行吗？请说明理由.

解：AE∥DC.理由如下：

因为AB∥DE，

所以∠1＝∠AED.

又因为∠1＝∠2，

所以∠2＝∠AED.

所以AE∥DC.

活动3

课堂小结

学生试述：这节课你学到了什么？

2.4

用尺规作角

1.能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用.

2.经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识.

自学指导

阅读教材P55～56，完成下列问题.

(一)知识探究

只用没有刻度的直尺与圆规作图称为尺规作图.

(二)自学反馈

如图所示，求作一个角等于∠AOB.

作法：(1)作射线O′B′；

(2)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；

(3)以点O′为圆心，OC(或OD)长为半径作弧，交O′B′于点D′；

(4)以点D′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点C′；

(5)过点C′作射线O′A′.则∠A′O′B′就是所求作的角.

活动1

小组讨论

例

利用尺规，作一个角等于已知角.

已知：∠AOB(如图).

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.

解：

作法

(1)作射线O′A′；

(2)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；

示范

(3)以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；

(4)以点C′为圆心，OC长为半径作弧，交前面的弧于点D′；

(5)过点D′作射线O′B′.∠A′O′B′就是所求作的角.

活动2

跟踪训练

1.尺规作图的画图工具是( D )

A.刻度尺、量角器

B.三角板、量角器

C.直尺、量角器 D.没有刻度的直尺和圆规

2.下列尺规作图的语句错误的是( B )

A.作∠AOB，使∠AOB＝3∠α

B.以点O为圆心作弧

C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧

D.作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β

3.如图，用尺规作出了BF∥OA，作图痕迹中，弧MN是( C )

A.以点B为圆心，OD长为半径作的弧

B.以点C为圆心，CD长为半径作的弧

C.以点E为圆心，CD长为半径作的弧

D.以点E为圆心，OD长为半径作的弧

4.如图所示，已知线段AB，∠α，∠β，分别过点A，B作∠CAB＝∠α，∠CBA＝∠β.(不写作法，保留作图痕迹)

解：如图.

活动3

课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？