完全平方公式的应用优秀教案设计

1．6

完全平方公式

课标要求：

能推导完全平方公式,了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算。

学习目标

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算；

2．灵活运用完全平方公式进行计算．

学习重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算. 学习难点：灵活运用完全平方公式进行计算．

一、情境导入

计算：

(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；

(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2. 由上述计算，你发现了什么结论？

二、合作探究

探究点：完全平方公式

【类型一】

直接运用完全平方公式进行计算

利用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2；

(2)(－3m－4n)2；

(3)(－3a＋b)2. 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．

解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；

(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

三、课堂反馈

1、运用完全平方公式计算：

13(1) (2x-3)2 (2) (x+6y)2 （３）（-x + 2y）2

（４）（-x - y）2 (5) (-2x+5)2 (6) (x-y)2

２.先化简，再求值：2x3y22xy2xy,342311其中x,y22

３.已知

x + y = 8，xy = 12，求

x2 + y2 的值

4.已知ab5

ab3，求a2b2和

(ab)2的值

四、学习拓展

【类型二】

利用完全平方公式求字母的值

如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．

解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．

解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2•6x•5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

【类型三】

灵活运用完全平方公式的变式求代数式的值

若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1. (1)求1x2＋1y2的值；

(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．

解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．

解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，∴4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴1x2＋1y2＝x2＋y2x2y2＝（x＋y）2－2xyx2y2＝9

－2×222＝54；

(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10. 方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．

【类型四】

完全平方公式的几何背景

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(

) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C. 方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

【类型五】

与完全平方公式有关的探究问题

下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．

(a＋b)1＝a＋b，

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6. 解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、

4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1.故填20. 方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

五、课后小结

1、通过这节课你都学到了什么？

2、你会运用完全平方公式进行简单计算吗？

六、作业布置

知识技能1.11 1 2 七、板书设计

1．完全平方公式：

两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．完全平方公式的应用

八、课后反思：

本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆

1.6 完全平方公式

第1课时

完全平方公式

一、探索公式

问题１.利用多项式乘多项式法则，计算下列各式，你又能发现什么规律？

（1）p12p1p1__________________________. （2）m22____________＝_______________________. (3) p12p1p1 _____ _______________. (4) m22____________ =_________________________. (5) ab2____________=_________________________ . (6) ab2____________ =________________________. 问题２.上述六个算式有什么特点？结果又有什么特点？

问题3．尝试用你在问题３中发现的规律，直接写出ab2和ab2的结果. 即：(ab)2＝ (ab)2＝ 问题4：问题3中得的等式中，等号左边是

，等号的右边： ，把这个公式叫做（乘法的）完全平方公式

问题5. 得到结论: (1)用文字叙述： （3）完全平方公式的结构特征： 问题6：请思考如何用图１５.２－２和图１５.２－３中的面积说明完全平方公式吗？

问题8. 找出完全平方公式与平方差公式结构上的差异

二、例题分析

例１：判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a+b)2=a2+b2； （ ）

(2)(a-b)2=a2-b2； （ ）

(3)(a+b)2=(-a-b)2； （ ）

(4)(a-b)2=(b-a)2. （ ）

例2.利用完全平方公式计算

(1) 4mn21

(2)y22

(3) (x+6)2

(4) (-2x+3y)(2x-3y)

例3.运用完全平方公式计算：

(5) 1022 (6) 992

三、达标训练

1、运用完全平方公式计算：

13(1) (2x-3)2 (2) (x+6y)2 （３）（-x + 2y）2

（４）（-x - y）2 (5) (-2x+5)2 (6) (x-y)2

２.先化简，再求值：2x3y22xy2xy,342311其中x,y22

３.已知

x + y = 8，xy = 12，求

x2 + y2 的值

4.已知ab5

ab3，求a2b2和

(ab)2的值