小结优质课教案内容

第三章 单元小结（一）（一）教学目标1．知识与技能整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.2．过程与方法通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系3．情感、态度与价值观在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.（二）教学重点与难点重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.（三）教学方法动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.（四）教学过程教学环节

教学内容

1．函数与方程单元知识网络函数与方程

函数零二分法点的存求方程在性判的近似

定

解

师生互动

1．师生合作，绘制单元知识网络图2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理. 设计意图

方程的根与函数零点的关系

2．知识梳理①二次函数的零点与一元二次方程根的关系对于二次函数f (x) = ax2 + bx 回顾反思+ c (a≠0)，当f (x) = 0时，构建体系

就是一元二次方程ax2

+ bx + c = 0，因此，二次函数f (x) = ax2

+ bx + c

(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c

= 0的根；也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根.②函数的零点的理解（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.

(2)根据函数零点定义可知，函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f

(x) = 0是否有实根，有几个实根.③函数零点的判定判断一个函数是否有零点，首先看函数f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y = f (x)在区间（a，b）内必有零点.④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由|a

–

b|＜，便可判断零点近似值为a或b.⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；（2）求曲线y

= f (x)和y

= g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f (x) –

g (x)的零点，即求方程f (x) –

g (x) = 0的实数解.

1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.例1

利用计算器，求方例1【解析】设f (x) = 2x + 2x

– 5，由于程2x + 2x

– 5 = 0的近似解. 函数在R上是增函数，所以函数f

(x)在R经典例题(精确到0.1)上至多一个零点.剖析

∵f (1) = –1＜0，f (2) = 3＞0，∴f (1) f (2)＜0，∴函数f (x) = 2x + 2x

– 5在(1, 2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：动手试练提升合应知识能力. 尝习综用的

取区间

中点值

1.5 1.25 1.375 1.3125

中点函数值

0.83(正数) –0.12(负数) 0.34(正数) 0.11(正数)

(1, 2) (1, 1, 5) (1.25, 1.5) (1.25, 1.375) (1.25, 1.3125) ∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1，∴函数f (x)的零点近似值为1.3125.∴方程2x

+ 2x

–

5 = 0的近似解是例2 确定函数f

(x) 1.3125.=log1x+ x

– 4 的零点个数.例2【解析】设y1log1x,y24x，22则f

(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.由图知，y1与y2在区间(0, 1)内有一个交点，当x = 4时，y1 = –2，y2 = 0，当x = 8时，y1 = –3，y2 = – 4，∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点，又y1log1x和y2 = x

– 4均为单调函数.2例3（1）试说明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）∴两曲线只有两个交点，2即函数f(x)log1xx4有两个零点.（2）探究方程2x– 6x+5 = 例3【解析】（1）设函数

f (x) =2x3 – 6x2 0，方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部+3，解的和，你由此可以得到什∵f (–1) = –5＜0，f (0) = 3＞0，f (1) = –1么结论？＜0，

f (2) = –5＜0，f (3) = 3＞0，函数y = f (x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解．

首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：

3 2 端点或中点的横坐标

a0 = –1，b0 = 0

x0 = (–1+0) / 2 = – 0.5 x1 = (–1– 0.5) /2 = – 0.75 x2 = (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625 x3 = (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5 x4 = (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25 x5 = (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625 x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2 = – 0.648 437 5 x7= – 0.644 531 25

计算端点或中点的函数值

f (–1) = –5，f (0) =3 f (x0) = f (– 0.5)

= 1.25＞0 f (x1) = f (– 0.75)＜0 f (x2) = f (– 0.625)＞0 f (x3) = f (– 0.687 5)＜0 f (x4) = f (– 0.656 25)＜0 f (x5) = f (– 0.640 625)＞0 定区间

[–1，0] [–1，–0.5] [– 0.75，–0.5] [– 0.75，–0.625] [– 0.687 5，–0.625] [– 0.656 25，–0.625] [– 0.656 25，–0.640 625] f (x6) = f (– 0.648 437 25)＜0 [– 0.648 437 5，–0.640 625] f (x7)＜0 [– 0.644 531 25，–0.640 625] 由上表计算可知，区间[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是

– 0.64，所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1，0]上的一个近似解．

同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3．

（2）利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3．

由于3只与未知数的系数比相等，即

–

(– 6÷2) = 3，所以猜想：

一般地，对于一元三次方程ax3+ bx3

+ cx +d = 0有三个根xl，x2，x3，则和为x1 +x2 +x3

=b．

a备选例题

例1

求函数y = x3

– 2x2

–

x + 2的零点，并画出它的图象. 【解析】因为x3

– 2x

–

x + 2 = x2 (x

– 2) – (x

– 2) = (x

– 2) (x2

– 1) = (x

– 2) (x

– 1) (x + 1)，

所以已知函数的零点为–1，1，2.

3个零点把x轴分成4个区间：

(,1]，[–1，1]，[1，2]，[2,). 在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：

x y …

…

–1.5 – 4.38 –1 0 –0.5 1.88 0 2 0.5 1.13 1 0 1.5 –0.63 2 0 2.5 2.63 …

…

在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.

例2 求函数f (x) = x3 + x2

– 2x

– 2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）. 【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：

端点（中点）坐标

x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 x3=(1.375+1.5)/2=1.438 计算中点的函数值

f(x0)=0.625＞0 f(x1)= –0.984＜0 f(x2)= –0.260＜0

取区间

[1，2] [1，1.5] [1.25，1.5] [1.375，1.5]

|an

–

bn| 1 0.5 0.25 0.125

由上表的计算可知，区间[1.375，1.5 ]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值. 函数f (x) = x3 + x2

– 2x

– 2的图象如图所示. 实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.