3.1.2 指数函数教学设计及教案分析

第1课时

指数函数的概念、图象与性质

学习目标：1.理解指数函数的概念．(重点)2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换．

[自

主

预

习·探

新

知] 1．指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R. 2．指数函数的图象和性质

a>1

0

定义域

值域

定点

性质

函数值的变化

单调性

奇偶性

R

(0，＋∞) 图象过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

x>0时，y>1；

x<0时，0

在(－∞，＋∞)上是单调增函数

x>0时，0

x<0时，y>1

在(－∞，＋∞)上是单调减函数

非奇非偶函数

[基础自测] 1．思考辨析

(1)函数y＝3·2x是指数函数．(

) (2)指数函数的图象与x轴永不相交．(

) (3)函数y＝2－x在R上为增函数．(

) (4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.(

) 2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号) (1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；

(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．

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3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.

函数f(x)＝(a2－7a＋7)ax是指数函数，求实数a的值．

[思路探究]

利用指数函数的定义求解．

[

[规律方法]

指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1. [跟踪训练] 1．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是________．

比较下列各组数的大小：

[思路探究]

观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．

[规律方法]

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：

(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可. (3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象. 2/5

[跟踪训练] 2．比较下列各组数的大小：

(1)1.9－π与1.9－3；

(2)0.60.4与0.40.6；

2(3)3，2，－3，4.



143233132

(1)已知4≥2x＋1>2，求x的取值范围；

10(2)已知0.3x>3，求x＋y的符号．

[思路探究]

化为同底，利用指数函数的单调性求解．

[规律方法]

1.形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

[跟踪训练] 13．(1)若例3题(1)改为4≥2x＋1y23

>2，则x的取值范围为________.

23(2)解关于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．

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(1)函数y＝3－x的图象是________．(填序号)

图3-1-1 (2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第________象限．

(3)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．

1－x[思路探究]

题(1)中可将y＝3转化为y＝3. 题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，

因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．

题(3)应该根据指数函数经过定点求解．

[规律方法]

1.处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．

(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．

(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．

2．指数型函数图象过定点问题的处理方法

求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．

[跟踪训练] 14．函数y＝f(x)＝ax＋2－2(a>1)的图象必过定点________，其图象必不过第________象限．

4/5 x

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列所给函数中为指数函数的是________．(填序号) ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝(2a1－1)a>2，a≠1. x2．已知指数函数f(x)的图象过点(4,81)，则f(6)的值为________.

3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．

4．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．

5．画出函数y＝2|x|的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．

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