阅读与思考 集合中元素的个数教学设计第二课时

第一章

集合与函数概念

§1．1集合

教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；

(2)知道常用数集及其专用记号；

(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；

(4)会用集合语言表示有关数学对象；

教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择.

1.1.1

（一）集合的有关概念

⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

2.表示方法：集合通常用大括号{

}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

5.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R；

6.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”

（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大

的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；

⑵我国的小河流；

第1页

⑶非负奇数；

⑷某校2011级新生；

⑸

血压很高的人；

7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A. 8.

空集：定义

9.

集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 2. {xR∣0

由此可以得到

有限集:含有有限个元素的集合

集合的分类无限集:含有无限个元素的集合空集:不含有任何元素的集合(empty

s)et（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“”符号填空：

⑴8

N；

⑵0

N；

⑶-3

Z；

⑷2

Q；

练：5页１题

例2．已知集合P的元素为1,m,mm3,

若2∈P且-1P，求实数m的值。

练：⑴给出下面四个关系:3R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

（2）求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件? （3）若21t{t},求t的值. 1t1.1.2

一、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫

第2页

列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合：

(1)

小于5的正奇数组成的集合；

(2)

能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)

从51到100的所有整数的集合；

(4)

小于10的所有自然数组成的集合；

(5)

方程xx的所有实数根组成的集合；

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：xAp(x)2

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与

{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{

}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

2(1)

由适合x-x-2>0的所有解组成的集合; (2)

到定点距离等于定长的点的集合;

(3)

方程x20的所有实数根组成的集合

2

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(4)

由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

课本P7 例1例2

1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

42．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是 。

x33.判断下列两组集合是否相等？

（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};

(2)A={自然数}与B={正整数}

1.2

集合间的基本关系

教学目的：

（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

1.2.1 ⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这

两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：AB(或BA)

读作：A包含于B，或B包含A 表示：AB

2.真子集定义：若集合AB，但存在元素xB,且xA，则称集合A是集合B的真子集。

记作：A

B（或B

A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

3.集合相等

定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B

中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若AB且BA，则AB。

如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：

用适当的符号填空：

当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

B

A 

0；

0



；



{}；

0

{} 5.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。

练习

⑴2

N；

{2}

N；



A;

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⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

A

B；

A

C；

{2}

C；

2

C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，

特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

21.2.2

集合间的基本运算

考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1）A{1,3,5}，B{2,4,6},C1,2,3,4,5,6；

（2）A{xx是有理数}，B{xx是无理数},Cxx是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B

的并集，即A与B的所有部分，

记作A∪B，

读作：A并B

即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

Venn图表示：

2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），

记作：A∩B

读作：A交B

即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：

（阴影部分即为A与B的交集）

常见的五种交集的情况：

B

B A

B A B

A A A(B)

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

集合没有交集

3. 全集、补集概念及性质：

全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集

合A相对于全集U的补集,

记作：CUA，读作：A在U中的补集，即CUAxxU,且xA

Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

UA

CUA

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说明：补集的概念必须要有全集的限制

高一数学必修1集合单元综合练习

1、U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，则下列结论正确的是

.

①、3

③、3A且3A且3B；②、3B；④、3A且3A且3B；

B。

，则k的取值范围是

2、设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠3、已知全集UZ，A{1,0,1,2},B{x|x2x}，则ACUB为

b4、设a，bR，集合1，ab，a0，，b，则ba

a5、已知集合Ax|xa≤1，Bxx25x4≥0．若AB，则实数a的取值范围是

6、设集合A{x0x3且xN}的真子集的个数是

．．．7、以下六个关系式：00，0，0.3Q, 0N, a,bb,a

，x|x

220,xZ

是空集中，错误的个数是

28、若A{2,2,3,4}，B{x|xt,tA}，用列举法表示B

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