3.2.1 对数第二课时教案

课题: 3.2.1对数

授课教师: 无锡市第六高级中学

吴纯宇

●教学目标: 1.通过具体实例使学生认识到引进对数的必要性,让学生在实际背景中了解对数的意义,经历对数概念的形成过程. 2.理解对数的概念,认识对数与指数的相互练习,会熟练地掌握指数式与对数式的互化,体会转化与化归的思想. 3.了解对数发明的历史,了解常用对数与自然对数. 4.引导学生发现对数的几个基本性质,体会从特殊到一般,归纳猜想证明的思维过程. ●教学重点: 对数的概念, 指数式与对数式的互化. ●教学难点: 对数的概念的理解. ●教学方法与教学手段:问题驱动法,启发式教学,探究式学习, 多媒体课件辅助教学. ●教学过程: 一.创设情境: 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，设该物质最初的质量为1. 〖问题1〗就此情境，你能提出一个数学问题吗？

学生活动：预设1.这种物质的剩留量关于时间的函数关系式？

预设2.经过3年，这种物质的剩留量为多少？

预设3.经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半? 师生互动:问题都与指数函数y0.84x有关. 师生共同完成表格填写. 针对预设2: 问题

经过3年，这种物质的剩留量为多少？

数学语言

0.843N

运算类型

指数运算abN

已知底数a,指数b,求幂值N

针对预设3: 问题

经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半?

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数学语言

0.84X0.5

运算类型

新的运算abN

已知底数a,幂值N, 求指数b

【设计意图】通过具体实例说明研究对数的必要性.引导学生用数学语言表述问题,明确两个问题都是在指数式abN中已知两个量,求第三个量. 〖问题2〗0.84X0.5中的x存在吗？如果存在，唯一吗？

师生活动：

学生：存在的，唯一．

教师追问：为什么？

学生：可以通过画图解，画指数函数y0.84和函数y=0.5的图像，发现它们有交点，而且是唯一的交点．

y1f(x) = 0.84xg(x) = 0.5x

3.53

0112.520.51.510.5Ox-0.522334455

【设计意图】

关注学生认知规律，引导学生用旧知识解决新问题，反映知识的联系性，体现数形结合的思想，同时为引入对数打下基础. 〖问题3〗既然0.84X0.5中的x存在且唯一,那么如何表示它？

学生不知,教师追问:以前有没有遇到类似情况? 2学生：a3，则a3，哦，可以引进一个新的符号．

师：对！数学前辈们经过多年摸索，把这样的数记为log0.840.5，读作以0.84为底0.5的对数；指明规范写法. 师：你能仿照老师，再举一些类似的例子吗？

【设计意图】引起学生认知冲突，激活思维，引入新的符号的必要性。从而引出对数的概念. 二.建构数学: 〖问题4〗一般情况下, 已知底数a,幂值N, 求指数b? 生:

blogaN

师：把我们的发现上升为一种全新的理论．

1.初识概念:

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对数的概念:一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N, 就是abN那么数

b叫做

a为底

N的对数，

记作logaNb，

其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

规范对数的读法与写法. 师:请给a,b,N赋值，写出一个指数式和对数式,互相交流. 【设计意图】初步了解概念,通过赋值,体会从一般到特殊. 2.概念解读: 〖问题5〗指数式和对数式有什么关系? 师生互动:明确指数式与对数式中三个字母a,b,N各自的名称，位置，范围. 教师边讲,边在黑板上标示.

底数(a>0,a≠1)

abN logaNb 幂值 真数

N>0 指数 bR 对数

师：根据对数的定义，请问对数logaN表示什么? 生：它的含义是a的多少次方是N． 生: 表示一个数b. 师：对数与指数有什么关系? 生：对数与指数可以相互转化，即axN(a0，且a1)xlogaN．

小结：两个式子表示三个字母a,b,N的同一关系,两种写法可以互相转化. 数学史简介: 16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易．需要更为准确的天文知识，对计算速度和准确性的要求也与日俱增，人们希望将乘除法归结为简单的加减法. 纳皮尔为对数的产生所做的巨大贡献,发表《论述对数的奇迹》. 【设计意图】明确指数式与对数式中a,b,N是同一个量，理解指数式与对数式的互化.引导学生认识新事物的一般方法,即特殊化,与相关知识比较,转化为熟悉的知识. 〖问题6〗你能将指数式与对数式互相转化吗?

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(1)331 (2) 5a20

27(3)log51253 (4) log10a1.699

师生互动:请为你的同伴出一个指数式请他化成对数式, 再出一个对数式请他化成指数式.请两位同学到黑板演练. 【设计意图】熟练掌握指数式与对数式的互化,体会转化与化归的思想. 教师介绍常用对数与自然对数. 常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

为了简便,N的常用对数log 10

N简记作lg

N

例如：log 105简记作lg

5 log103.5简记作lg3.5. 自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e＝2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数log

e N简记作ln

N。

例如：loge3简记作ln3 loge10简记作ln10 3.性质探究

题组1:求下列各对数式的值：

(1)log264;(2)log927;(3) log71; (4) log1

师:从这几个题目中,你发现了什么? 生:我归纳出:loga10

师:这个式子一定成立吗?你能证明吗? 生:一定成立,因为a01

师:对数b属于一切实数，刚才找到了与0相等的对数，你能找到和1等其他特殊的数相等的对数吗？

生：logaa1和logaann（第二个也可能不出现）

师：能证明吗？

阶段小结：看来寻找特殊的对数式还要依赖于找到特殊的指数式. 题组2:求下列各对数式的值：

(1) 2log23 (2) 7log70.6 (3) 0.4log0.489 师：从中能归纳出什么结果？

师：alogaNN

师：能证明吗？

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小结:对数的基本性质. 【设计意图】证明方法回扣题组1.在对数式还不熟练的时候，要认识一个对数最好设为x再化为指数式,根据指数式确定x.进一步理解对数的概念,熟练掌握指数式与对数式的互化,培养学生的运算能力和解决问题的能力. 四.课堂小结: 〖问题7〗我们今天是如何研究对数的? 师生互动:利用思维导图帮助学生理清研究对数的过程.并引导学生认识新事物的方法:特殊化、与相关知识比较法. 【设计意图】让学生在知识、方法上多层次的整理,促进学生理解,使学生获得知识与能力的共同进步.

教学设计说明: 本节课是苏教版必修1第3.2节《对数函数》的第一课时，安排在指数函数后、对数函数前，因此对数概念是指数概念、指数函数的深化和延续，又是对数函数的基础，其主要功能是简化运算. 但“对数”是一个比较抽象的概念，为高中数学最难理解的概念之一．

利用学过的情境,引导学生提出问题.在学生学过指数及指数函数的基础上，明白指数运算是已知底数和指数求幂值，引出对数是已知底数和幂值求指数，两者是互逆的关系.0.84X0.5中的x究竟是多少，学生虽难说出，但引发认知冲突，使新的概念和符号的引出必要而自然,鼓励学生举出类似的例子,在问题让学生经历从特殊到一般,从具体化到一般化的过程,体会指数式与对数式的和谐统一.引导学生对数式与指数式比较,让学生体会对数式与指数式是等价的,从而体现将对数问题与指数问题互相转化来解决的思想方法.进而将抽象的对数概念具体化. 高一的学生还没有掌握学习一个新的数学概念的方法，在学习过程中要注意概念的生成，在过程中让学生形成研究新对象的一般方法.帮助学生理解特殊化的意义，通过总结一般方法，让学生体会从特殊到一般的思维过程。通过指数式与对数式的相互转化，让学生感受转化与化归的数学思想.

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