习题1.2国家获奖教案

函数及其表示

【考点梳理】

1．函数与映射的概念

两集合

A，B 对应关

系

f：A→B 函数

设A，B是两个非空的数集

如果按照某种确定的对应关系映射

设A，B是两个非空的集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

记法

称f：A→B为从集合A到集合称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数y＝f(x)，x∈A

B的一个映射

映射：f：A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【教材改编】

1．(必修1 P19练习T2改编)已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)为(

)

A．－2

B．0

C．1

D．－1 [答案]

A

[解析]

∵f(x)＝3x3＋2x＋1，

∴f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，

∴f(－a)＝2－f(a)＝0，故选B.

2．(必修1 P18例2改编)下列哪个函数与y＝x相等(

) x2

A．y＝x

B．y＝2log2x

3

C．y＝x2

D．y＝(x)3

[答案]

A x2

[解析]

y＝x的定义域为x∈R，而y＝x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x＞0}，排除A、B；y＝x2＝|x|定义域为x∈R，对应法则3与y＝x的对应法则不同，排除C；而y＝(x)3＝x，定义域与对应法则与y＝x均相同，故选D.

3．(必修1 P23练习T3改编)函数y＝|x－2|－2的图象与x轴围成的三角形的面积为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4 [答案]

A －x，x≤2，[解析]

y＝|x－2|－2＝其图象与x轴围成的△OAB如图所示，

x－4，x＞2，易知A(2，－2)，B(4，0)．

1

∴S△OAB＝2×4×2＝4，故选D.

4．(必修1 P24 A组

T3(4)改编)函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为(

) 9

A．－1

B．－7

C．1

D．2 [答案]

C

[解析]

由y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知a＞0，且4a×7a－（－6）292＝－2.即7a＋2a－9＝0，∴a＝1或a＝－4a7(舍去)，故选C.

5．(必修1 P23练习T2改编)如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3 min漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则表示H与下落时间t(min)的函数关系的图象只可能是(

)

[答案]

B

[解析]

当时间到一半时，漏斗中液面下落的距离不到一半且随着时间的增加，H变化的越来越快，故选B. 6．(必修1 P17例1改编)已知f(x)＝x＋3＋1，若f(－2)＝0，则a的值为(

) x＋a

A．－1 1C．－2

[答案]

B [解析]

f(－2)＝1＋∴a＝1，故选B.

1＝0，

－2＋aB．1 1D．2

7．(必修1 P24 A组

T1(3)改编)函数f(x)＝A．{x∈R|x≠－1或x≠3}

B．{x∈R|x≠－1且x≠3}

C．{x∈R|x≠－3或x≠1}

D．{x∈R|x≠－3且x≠1}

[答案]

B 6的定义域为(

) x2－2x－3[解析]

当x2－2x－3＝0时，即x＝－1或x＝3时，f(x)无意义．

∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠3}，故选B.

8．(必修1 P24 A组T4改编)已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，若f(a＋3)＞f(a)，则a的取值范围为(

) 2A．a＞－3

2C．a＜－3

[答案]

A [解析]

由题意得3(a＋3)2－5(a＋3)＋2＞3a2－5a＋2，

2即18a＋12＞0，∴a＞－3.

π2＋3cos 10x，x∈[－5，0]，109．(必修1 P25 B组T1改编)函数f(x)＝则f－3πtan 6x，x∈（0，3）.3＋f2＝________．

9[答案]

2

2B．a＞3[

2D．a＜3

103[解析]

由题意得，f－3＋f2

ππ＝2＋3cos－3＋tan 4

19＝2＋3×＋1＝22.[

10．(必修1 P19练习T1(2)改编)函数f(x)＝1－x＋x＋3的值域为________．

[答案]

[2，22

] [解析]

f(x)的定义域为

[－3，1]，

f2(x)＝1－x＋x＋3＋2（1－x）（x＋3）

＝4＋2－x2－2x＋3，[

记h(x)＝－x2－2x＋3，x∈[－3，1]，[

∴h(x)∈[0，4]，∴f2(x)∈[4，8]．

又∵f(x)≥0，∴f(x)∈[2，22 ]．

11．(必修1 P24 A组T5改编)已知函数f(x)＝1＋fx＝0.求a，b的值．

1＋ax＋ax[解析]

由题意得＋＝0，

x＋b1x＋b即(a＋b)x2＋2(ab＋1)x＋a＋b＝0.

a＋b＝0∴，

ab＋1＝0则有a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1. x＋a对于定义域内的任何x均有f(x)x＋b