3.1 勾股定理第二课时教学设计

3.1 勾股定理

一、创设情境 提出问题

聊聊三角形的那些事：

三角形的主要元素是三条边、三个角．

问题1：从角的关系看，你知道哪些结论？（三角形内角和等于1800）

问题2：从边的关系看，你知道哪些结论？（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

对于特殊的三角形，除了以上性质之外，还有其特有的性质吗？

问题3：对于特殊的三角形等腰三角形，它有哪些性质？（等腰三角形两腰相等，两底角相等）

师：等腰三角形，“边”、“角”都有特殊的性质．

那么直角三角形也是一种特殊的三角形，它有哪些特有的性质呢？

（直角三角形两锐角互余）

师：直角三角形三边之间是否也存在特殊的关系呢？本节课我们就一起来探究直角三角形三边的数量关系．板书：直角三角形三边数量关系．

问题4：同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，第三边的长度确定吗？

8 ６

（只能确定其范围：2x14）

问题5：如果又已知这两边的夹角，那么第三边的长确定吗？你的依据是什么？（用SAS可证明全等，第三边的长度必唯一）

x 问题6：我们先选择最为特殊的情况进行研究，即夹角是直角．

（图1）

第三边x数值上既然唯一的，那你能求出来吗？

已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来

探讨这个问题．

（上课之初和学生聊聊三角形的那些事，目的是拉近学生，营造一个轻松的氛围．从一般三角形的边、角两个方面进行回顾，引出特殊三角形边、角的特殊性质．其中，等腰三角形已经在第二章研究完了，对于直角三角形来说，角的特殊性也已研究了，自然提出疑问：边会有哪些特殊的数量关系呢．通过对三角形三边的不等关系和三角形全等的判定的回顾，从学生原有的认知水平出发，揭示这节课产生的根源，直角三角形三边一定存在等量关系．符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标．）

二、实践探索 猜想归纳

探究一：请同学们用不同的方法计算等腰直角三角形的面积．

经过推导得2a2c2，即a2a2c2．由此猜想直角三角形三边之间存在二次的等量关系．

猜想：一般的直角三角形三边a2、b2、c2之间存在怎样的关系？

追问：“a2、b2、c2”这种“式结构”，你能否想到与之对应的

“形结构”呢？

回忆我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？

课件展示：平方差公式、完全平方公式．

a

b

a

a

b

b

ababa2b2 a

aba2b

b2ab(ab)2a22abb2师总结：研究直角三角形三边a2、b2、c2的关系，也就是研究与之对应的三个正方形SA、SB、SC的关系．

今天，让我们试一试通过计算图形的面积能不能得到直角三角形三边数量关系．

（从学生已有的学习经验出发，先探讨等腰直角三角形，得出三边之间存在二次的等量关系。从特殊到一般，进而引发猜想：一般的直角三角形三边是否存在二次的等量关系．二次的等量关系借助之前的《从面积到乘法公式》得出可以通过探求面积之间的关系转化为研究边长之间的关系，让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生，增强探索问题的信心．）

探究二：

为了便于计算面积，我们在网格纸中进行分析．

从特殊的等腰直角三角形入手，分别计算出SA、SB、SC．

得出SASBSC

问：如何求SC．

（分割法、补形法）

从特殊到一般，一般的直角三角形以三边为边分别向外作正方形，探究SA、SB、SC的关系．

问：你是如何得到的？如何计算SC？

（SC的求法是这节课的难点，这时可让学生先在实验用纸上独立分析，再通过小组交流，最后由小组代表到台前展示．学生可能提出割（图1）、补（图2）、平移（图3）、旋转（图4）等方法，旋转这种方法只适用于斜边为整数的情况，没有一般性，若有学生提出，应提醒学生．)

预设：

BRBRAPCAPQCQ（图1）

（图2）

BRABRAPCPC

（图3）

（图4）

（把图形进行“割”和“补”，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转QQ

化成可以利用网格线直接计算面积的图形，让学生体会将较难的问题转化为简单问题的思想）

探究三：在方格纸上任意画一个格点的直角三角形，并分别以这个三角形的三边向外作正方形，仿照上面方法求其面积，你又发现了什么？

学生自己画直角三角形，再分别计算SA、SB、SC．

通过对几个直角三角形对应的SA、SB、SC的计算，探究它们三者之间的规律．

将网格线去掉，利用《几何画板》的度量工具可以看到SASBSC．

发现规律：任意的直角三角形以各边为边向外作的正方形面积之间满足以直角边为边的正方形面积之和等于以斜边为边的正方形的面积．

（通过在网格中对SA、SB、SC三者关系进行探究，总结出规律．另外，将网格线去掉，通过几何画板的演示，让学生眼见为实，再次确认发现的规律对任意的直角三角形都适用．）

探究四：

师：我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？

面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的等量关系：两直角边的平方和等于下边的平方．

得出结论：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2b2c2．

文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（特别强调勾股定理的使用前提是直角三角形）

教师介绍“勾股定理”名称的由来：我国早在三千多年就知道了这个定理，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.

三、动手实践

证明定理

拿出四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼，试试看. 小组活动，合作探究.黑板上展示学生的拼图成果，利用面积恒等式证明勾股定理，体会数形结合的思想. 预设：

同时教师介绍对应的勾股定理的相关知识，包括赵爽弦图、毕达哥拉斯的证法（毕达哥拉斯定理、百牛定理等知识）、总统证法、无锡籍数学家华蘅芳就勾股定理的证明给出了二十多种证法. （本环节让学生动手操作，体验证明勾股定理.其实，这两种拼法与网格中计算正方形面积时用割补法构造出来的图形是有关的.借助之前学习乘法公式的推导经验，拼完图后可以迁移到推导勾股定理.其次，就学生拼出的图形，引出勾股定理相关的数学史，让学生感悟数学文化．华蘅芳的例子，增强学生的自豪感.）

四、初步应用

解决问题

1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=6，ｂ=8，求c. 设计意图：前后呼应，回到一开始的问题.

变式: (1) 已知：c=5，b=4，求a .

教师总结：勾股定理的作用：在直角三角形中已知两边可以求第三边.或者已知直角三角形的一边及另外两边的关系，可以通过方程思想求出剩余的边.

2.受台风“山竹”影响，一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树跟底部12米处，这棵树折断前有多高？

设计意图：学会将实际问题转化为数学问题，应用勾股定理解决实际问题.

3.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的面积分别是3 ，4，1，3，求最大正方形E的面积．

设计意图：巩固所学知识，并且引出勾股树，让学生感受数学美．

五、欣赏数学美

感受数学文化

通过年代的数轴，和学生回顾“勾股定理”的历史发展．（具体见课件）

B

C

A

D

E

912米

六、课堂总结

课外延伸

反思小结：

1.这节课我的收获是……

（一个定理、一次探索、多种思想、一份自豪）

2.我想进一步研究的问题……

（预设：

①已知两边及非直角的夹角，如何求第三边. ②既然直角三角形三边满足这样的关系，那么非直角三角形的三边满足什么关系. ③类比线段垂直平分线的性质定理学完后，反过来思考，研究了判定定理的学习经验，猜想是否是一个三角形满足两边的平方和等于第三边时，这个三角形是直角三角形. ……）

3.我还有哪些疑惑……

（预设：直角三角形中已知两边，第三边的平方求出来是5，那第三边是多少.）

作业：

1.必做题：P82 习题3.1 第1、2题. 2.选做题：上网查阅了解勾股定理的有关知识及证法并写一篇小论文.

拓展：

观察右图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a²+b²=c².

（困惑：这个探究是放在最后的拓展环节，还是勾股定理揭示后让学生探究，旨在说明勾股定理只适用于直角三角形.）

ca

b

(

(

ac

b

拓展2：

如图，以直角三角形各边为直径向外作半圆，则半圆A，B，C的面积关系为 .

CcbBaA