2.2.2 函数的奇偶性优秀教学设计

课

题 函

数

的

奇

偶

性

【学习目标】

1.了解函数奇偶性的含义；

2.了解奇、偶函数图象的特征;会判断函数的奇偶性．

【预习单】

问题1:如果函数yf(x)的图象上任意一点关于y轴对称的点仍在此函数图象上,则函数yf(x)的图象关于___________对称;如果函数yf(x)的图象上任意一点关于原点对称的点仍在此函数图象上,则函数yf(x)的图象关于___________对称. 问题2:点A(1,1),B(1,2)是否在函数yx2的图象上?如何判定点P(a,b)是否在函数yf(x)的图象上?

问题3:请你作出函数f(x)x2与g(x)1的图象,并观察图象的对称性,体会相应x3

4

的两个函数值对应表是如何体现这些特征的. x

-4 -3 -2 -1 1 2 f(x)

x

g(x)

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

函 数

图 象

对称性

名 称

f(x)x2

g(x)1

x

第1页

【活动单】

活动一:函数的奇偶性

1.若函数f(x)的图象关于_________对称,称f(x)为偶函数;若函数f(x)的图象关于_________对称,称f(x)为奇函数. 2.定义:一般地,设函数的定义域为A, 如果对于____________xA,都有____________________,那么称函数f(x)是偶函数; 如果对于____________xA,都有____________________,那么称函数f(x)是奇函数.

3.函数奇偶性的判定

活动二:奇偶性的判定

例1 判断下列函数是否为偶函数或奇函数: (1) f(x)2x； (2) f(x)x21,x2,2；

(3) f(x)2x; (4) f(x)(x1)2；

(6) f(x)0;

第2页

例2 判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x5x3 （2）f(x)x2x2

（3）f(x)x22x (4)

【反思单】

f(x)2x112x

第3页

【巩固单】

1. 判断下列函数的奇偶性

(1) f(x)x22x (2) f(x)x211x2

(3) f(x)(x1)1x1x21x (4) f(x)x22

(5) f(x)x2x,x0

xx2,x0

2.对于定义在R上函数f(x),下列判断是否正确? (1) 若f(x)是偶函数,则f(2)f(2);

(

) (2) 若f(2)f(2),则f(x)是偶函数;

(

) (3) 若f(2)f(2),则f(x)不是偶函数;

(

) (4) 若f(2)f(2),则f(x)不是奇函数;

(

) (5) 图象关于原点对称的函数一定是奇函数;

(

) (6) 偶函数的图象一定与y轴相交:

(

) (7) 偶函数的图象若不过原点,则它与轴的交点的个数一定是偶数;

(

(8) 若奇函数f(x)在x0处有意义,则f(0)0.

(

第4页

) )

课题 函数的奇偶性（1）教案

师:前面,我们从图象上升和下降的角度研究了函数,今天我们将从对称的角度进一步研究函数.昨天请大家作了两个图象,其中,yx2的图象关于y轴对称,我们给这样的函数一个名称—偶函数,y1的图象关于原点对称,我们给这样的函数一个名称—奇函x数.(板书:图象关于关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数).如何记忆呢? 偶函数的典型代表yx2,且指数2为偶数,奇函数的典型代表yx,且指数1为奇数.)

师:((打出PPT,学生口答).从图象上,你能发现奇函数或偶函数的定义域的特点吗?(定义域关于原点对称),反之,如果定义域不关于原点对称,那么它可能是奇函数或偶函数吗?(既不是奇函数也不是偶函数).

师:和单调性一样,用图象判定奇函数或偶函数,虽直观但不严谨,我们还要从数量关系来刻画它,也就是刻画图象的对称性.想一想,图象满足什么条件即能保证其关于y轴对称?

(图象上任意一点关于y轴对称的点仍在此函数图象上),那么就在其图象上任取一点P,设其横坐标为x,则其坐标为P(x,f(x)),它关于y轴对称的点的坐标为P'(x,f(x)).满足什么条件点P'在其图象上?(f(x)f(x)).故当自变量互为相反数时,其函数值相等,这样的函数就是偶函数.(板书:设函数f(x)的定义域为A,如果对于任意的xA,都有f(x)f(x),那么称函数yf(x)为偶函数.你能仿照偶函数的推导方法和步骤，推导奇函数的定义吗?(学生推导并板书其定义).

师:如果一个函数是偶函数或奇函数,我们就说函数具有奇偶性,你能判定函数的奇偶性吗?请做例1.(学生板演,教师点评) 第(1)题:①

分析根据定义,只需计算出f(x),然后观察f(x)与f(x)是相等关系还是互为相反关系即可.

②

此题能否用f(1)f(1)来判定,为什么?

强调并帮助学生补上“对任意的xA”,包括其它各题. ③

但否定奇偶性呢?请看第(4)小题,利用定义很难说清,甚至逻辑上存在错误,怎么办呢? 举生活中例,如如何否定本班的学生不都大于15岁,从而只需举一特值a,使得f(a)f(a)且f(a)f(a),进行否定即可. 第5页

师:第(2)小题中,①

请学生分析错因:定义域不关于原点对称,所以本题为非奇非偶函数,但本题该同学利用定义证明似乎无懈可击,为什么呢?你能发现他的证明过程的缺陷吗? (既然自变量x是定义域中的任意值,不妨取特值x2.5,则f(2.5)f(2.5)也应成立,此式成立吗?因此,欲使f(x)f(x)对任意xA成立,则x和x都应在定义域内,从而定义域必须关于原点对称.) ②

因此,定义域是否关于原点对称是判定奇偶性的前提.定义域不关于原点对称,还需要进一步利用定义判定吗?若将定义域改为2,2呢?5,2(2,5)呢?1,0,1呢?想一想,如何快速准确地判定定义域关于原点对称?(在定义域上任取一个值,如果它关于原点对称的点,即其相反数在定义域上,则其定义域关于原点对称;如果在定义域上存在一点,它的相反数不在定义域上,则不关于原点对称.) ③

你在判定函数的奇偶性时,注意到定义域了吗?（各题修正,并评讲其余各题）

师:由此,你能总结判定奇偶性的步骤吗?(板书:（1）定义域是否关于原点对称,（2)定义判定).奇偶性的判型有几种?(奇函数;偶函数;非奇非偶函数;既奇又偶函数).既奇又偶函数有何特点?有多少个既奇又偶函数? (既奇又偶函数化简后的表达式为f(x)0的形式,既是奇函数又是偶函数的函数不止一个,有无数个).学生板演例2.

师:这节课你学到了哪些知识?

板书: 1.图象关于关于y轴对称的函数称为偶函数;图象关于原点对称的函数称为奇函数. 2.设函数f(x)的定义域为A,如果对于任意的xA. 都有f(x)f(x),那么称函数yf(x)为偶函数; 都有f(x)f(x),那么称函数yf(x)为奇函数. 3.函数奇偶性的判定步骤

①

判断定义域是否关于原点对称；

②

定义判定.

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