2.2.1 函数的单调性教案教学设计导入设计

函数的简单性质（1）——单调性

【学习目标】

1.过程目标：

（1）通过本节课的学习，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义教育。

（2）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

2．知识技能目标：

（1）理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。

（2）通过单调性的学习，培养分析问题、认识问题的能力。通过例题培养推理逻辑思维能力。

3．情感目标：

（1）理性描述生活中的增长、递减现象。

教学重点难点：函数单调性概念

教学工具：多媒体课件、投影仪、打印好的作业及材料。

【学前准备】

第2．1．1节开头的第三个问题中，描述了时间与气温的函数关系，你能说出气温在哪些时段内是升高的吗？怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？

【探究活动】

一、创设情境

问题1：观察下列函数的图象，并指出图象变化趋势。

y y y

y=2x+1

y=(x-1)2-1 y=1/x,x>0

x

2 O O O 1 x

-1 (1)

(2)

(3)

y

y=f(x),0≤x≤24

10

8

6

4

2

O 2 4 6 8 10 12 14

16 18 20 22 24 x -2

-4

(4)

问题2：你能明确地说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？即“形”的这种上升趋势在“数”上是如何体现的？

二、师生探究

问题3：如何用数学语言来准确表达函数的单调性？

例如，怎样表述当x的值在区间（0，+）上增大时，函数y的值也增大？

能否说，由于x=1时，y=3;x=2时，y=5就说随着x的增大，函数值y也随着增大？

能否说，由于x=1,2,3,4,5,…时，相应地y=3,5,7,9,…就说随着x的增大，函数值y也随着增大？

那么单调增函数如何精确定义呢？

一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间IA. 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说．．f(x)在这个区间是单调增函数，I称为f(x)的单调增区间。

．．I上．

练习：指出问题1中各函数的单调增区间。

问题4：如何定义单调减函数？

如果对于区间I内的任意两个值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说．．f(x)在这个区间是单调减函数，I称为f(x)的单调减区间。

．．I上．

练习：指出问题1中各函数的单调减区间。

如果函数yf(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数yf(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做yf(x)的单调区间。

练习：指出问题1中各函数的单调区间。

说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；

（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：

①对于任意的x1，x2M，若x1x2，有f(x1)f(x2)，则称f(x)在M上是增函数；

②若f(x)在M上是增函数，则当x1x2时，就有f(x1)f(x2)．

三、数学应用

例1画出下列函数的图象，并写出单调区间：

2

（1）yx2

（2）y11x,(x0)

（3）f(x)

x1x

思考：能不能说，函数y

1,(x0)在定义域(,0)(0,)上是单调减函数？

x

例2求证：函数f(x)11在区间(,0)上是单调增函数

x

注：判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

①取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1x2；

②作差变形：作差f(x1)f(x2)，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

③定号：判断上述差f(x1)f(x2)的符号，若不能确定，则可分区间讨论；

④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

【随堂检测】

练习：p37，1，2，，5，6，7

【问题式小结】

1．

函数单调性如何定义的？单调增函数、单调减函数分别要满足什么条件？

2．

怎样判断函数单调性？有哪些方法？

【思维拓展】

1、下列说法正确的有（

）

①若x1,x2I，当x1x2时，f(x1)f(x2)，则yf(x)在I上是增函数

②函数yx2在R上是增函数

③函数y④y1在定义域上是增函数

x1的单调区间是(,0)(0,)

xA.0个

B.1个

C.2个

D.3个

2、设函数f(x)(2a1)xb在R上是减函数，则有

A.a1111

B.a

C.a

D.a

222233．判断函数yxx的单调性，并给出证明。

24．指出下列函数的单调区间：（1）

y



x

2

1

（2）

f(x)x2x35．讨论函数f(x)1x2的单调性