2.2.1 函数的单调性优秀教学实录

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第一节

函数的概念与图像

§2.1.3函数的简单性质--单调性(1) 【学习导航】 知识网络

单调性定义

证明函数单调性

函数单调性

单调区间定义

求函数单调区间

单调性与图像

学习要求 1．理解函数单调性概念；

2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；

3．提高观察、抽象的能力．；

【课堂互动】

自学评价

1．单调增函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为，区间IA．

如果对于区间内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有

，那么就说yf(x)在区间上是单调

函数，称为yf(x)的单调

区间．

注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；

⑵. 单调性、单调区间是有区别的；

2．单调减函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为，区间IA．

如果对于区间内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有

，那么1 听课随笔

就说yf(x)在区间上是单调

函数，称为yf(x)的单调

区间．

3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是

图像；而函数在其单调减区间上的图像是

的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）

4．函数单调性证明的步骤：

（1）

；

（2）

；

(3)

.

【精典范例】

一．根据函数图像写单调区间：

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）yx2； （2）y21； xx21, x0（3）f(x)．

2x2,

x0【解】

2

二．证明函数的单调性：

例2：求证：函数f(x)【证明】

追踪训练一

1. 函数y11 (

) x111在区间(,0)上是单调增函数

x(A)在(1,)内单调递增

(B)在(1,)内单调递减

(C)在(1,)内单调递增

(D)在(1,)内单调递减

2. 函数yx22x8的单调增区间为

．. 1在区间(0,1)上是减函数．

x3. 求证：f(x)x

3

听课随笔

【选修延伸】

如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般例３: 函数y1x在其定义域函数吗？

分析：单调区间的判断目前只有通过定义进行是真命题时我们要给出严格的定义证明，而如题，我们只要举一组不满足定义的x1,x2，并【解】

4 不取并集： (,0)(0,)上是减说明，如果要说明这个命题果要说明这个命题是假命加以说明．

点评: 1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；

2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：

一、利用图像写函数的单调区间？

我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．

追踪训练

1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是

（

）

3A．(－∞，]43C．(－∞，－]43B．[，＋∞)4

3D．[－，＋∞)42. 若函数f(x)是上的增函数，对于实数a,b，若ab0，则有(

) (A)f(a)f(b)f(a)f(b)

(B)f(a)f(b)f(a)f(b)

(C)f(a)f(b)f(a)f(b)

(D)f(a)f(b)f(a)f(b)

5

听课随笔

3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[2,0]，则f(x)的单调递减区间是__

____

__．

1的单调增区间为

. xax115．讨论函数f(x)(a)在(2,)上的单调性. 4.函数yx22

【师生互动】

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学生质疑

教师释疑

7