2.2.1 函数的单调性教学设计(第一课时)

函数的单调性教学设计

一、教学目的

1、

初步理解函数单调性的定义，能判断和证明简单函数在给定区间上的单调性

2、

渗透数形结合的数学思想

3、通过问题探究法的教学，充分调动学生学习数学的热情，激发学生的学习兴趣。

二、教学要点、难点

重点：函数单调性的定义

难点：证明函数的单调性

三、教学过程

1、

提出问题：前面我们已经研究了函数的定义以及表示法，今天，我们一起来研究函数图象的一个性质。

2、

引入

观察某地某天的气温变化图，说出在哪段时间内气温是逐渐升高的或降低的？

（图象呈上升趋势，即函数值y随x的增大而增大；图象呈下降趋势，即函数值y随x的增大而减小。）那么，当

时，温度y随时间x的增大而增大？当

时，温度y随时间x的增大而减小? 分别作出函数y=x+1、y=-x+1、y=x图象，结合函数图象。问：

（1）

函数y=x+1中，y的值随x的增大而

？

（2）

函数y=-x+1中，y的值随x的增大而 ？

（3）

函数y=x中，当

时，y的值随x的增大而增大？

当

时，y的值随x的增大而减小？

3、

单调性定义的自然语言

（1）若函数f(x)在区间Ｍ上，y的值随x的增大而增大，则称f(x)在Ｍ上是增函数，Ｍ称为函数f(x)的递增区间。比如函数y=x+1在R上是增函数; 函数y=x在(0, ＋)上是增函数， (0, ＋)称为函数y=x的递增区间。

（2）若函数f(x)在区间Ｍ上，y随x的增大而减小，则称f(x)在Ｍ上是减函数，Ｍ称为函数f(x)的递减区间。比如函数y=x+1在R上是减函数; 函数y=x在 (－,0 )上是减函数，(－,0 )称为函数y=x的递减区间。

小结：看图求函数的单调区间的方法：沿着ｘ轴的正方向看，在区间Ｍ中，图像是上升

（下降）的就说ｆ（ｘ）在Ｍ上是增函数（减函数）。

4、探究：单调性定义的数学符号语言表示

（１）分析特例

函数y=x在(0, ＋)上ｙ随ｘ的增大而增大, 如何使用用数学符号语言（或数量2222222

关系）来表示？

请看下表：

x y=x

20.1<1<1.3 <2 < 3.5 <0.01<1<1.69<4<12.25<

（a）“x的增大”怎么描述 ？

（b）“y随x 增大”怎么描述？

（c）“在(0, ＋)上”怎么描述？ （2）由特殊到一般

若函数f(x)在区间Ｍ上，y随x的增大而增大，如何使用用数学符号语言来表示？

（3）解释定义。

问：x1，x2是否有范围限制？x1，x2是否为区间内的特定值？

（4）如果f(x)在整个定义域上具有单调性，就说f（x）是单调函数，如函数y=x+1，y=-x+1都是单调函数。而函数y=x不是单调函数。

（设计说明：形式化使数学的基本特征之一。在数学学习中，学习形式化的表达是一项基本要求，单调性定义从定性的描述到定量的表示，是对知识意义建构的过程。每一个数学概念的获得，结论的形成都要有一个过程，这个过程的设计体现了教师的创造性的劳动。在这个过程中，教师要启发学生，引导他们去自主探究，使学生体会其中蕴含的思想方法。）

5、概念的进一步理解

例1：函数yf（）定义域为（x，0+），若对于任意的x1>0，

都有，则函数f（x）在（0，+）上是减函数对吗？

f（x）<（f）01接着讲课本（人教A）P32 例1、2 2练习1.已知函数f（x）2

x（１）求ｆ（ｘ）的单调区间，并予以证明。

（２）函数ｆ（ｘ）是单调函数吗？为什么？

说明：（1）要证明一个函数的单调性，可用定义法；

(２)要证明一个函数在区间D上不具备单调性，只要举一个反例。

练习2. 求函数yx-4x+1的单调区间，并予以证明。

6．师生共同小结：

（1）、如何判断一个函数的单调区间？（通过图象观察或定义法。）

（2）、如何证明函数在区间D上的单调性？ 分四步：（a）任取x1、x2D，且x1

（b）求差：f(x1)f(x2) 2

（c）变形并判断f(x1)f(x2)的符号

（d）结论

（3）、单调性是对函数在某个区间而言的，它是一个局部概念。

7．作业（略）

（设计说明：概念的意义建构不是一次能够完成的，必须经过正反辨析以及应用的过程，学生通过对概念的辨析，达到对概念的内涵与外延的了解，通过应用即对知识的内化来验证概念的掌握是否准确。教师要注意为学生提供联系与应用的机会。）

点评

“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”。本设计致力于展示概念是如何生成的。在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教，而不是教教材。

这节课是学生在教师的引导下，进行逐步探索的过程。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出函数的单调性定义，初步学会如何由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，并渗透数形结合法思想。本设计体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。