3.4.1 函数与方程优质课教案整理

2017届歌风中学高三二轮复习活动单

沛县歌风中学（如皋办学）

高三数学专题复习

函数的零点问题

一、知识回顾

1、函数零点存在性定理：函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内至少有一个零点．

2、一个重要结论：若函数y=f(x)在其定义域内的某个区间上是单调的，则f(x) 在这个区间上至多有一个零点．

思考1、如果函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,但不满足f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点吗？

①如果函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x) 在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0 时，函数f(x) 在区间(a，b) 内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0. ②如果函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x) 在区间(a，b) 内不一定没有零点．

思考2、除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？

等价关系：函数yF(x)f(x)g(x)有零点

方程F(x)f(x)g(x)0有实数根

yf(x)有实数根

方程组1y2g(x)函数y1f(x)与y2g(x)的图象有交点

二: 基础检测

1. 已知f (x)＝xx1，若g ( x)＝f (x)a

的零点个数不为0，则a

的最小值为__________．

2. 若函数ylnx2x6的零点为x0,则满足kx0的最大整数k =______.[ 三:合作探究

探究一：确定函数的零点个数或方程的根问题

2x(x0)例1、设函数f(x)，函数yf[f(x)]1的零点个数为

▲

．

log2x(x0)

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x＋1，x≤0，变式1：

函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为log2x，x>0，

________

[来源:学科网]

探究二：利用函数的零点或方程的根求参数的值或取值范围

2x5x4,x0例2、已知函数fx若函数yf(x)ax恰有4个零点，则实数a的,x02x2取值范围为_______[来

x2(4a3)x3a,x0,变式1：已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，

loga(x1)1,x0且关于x的方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_______[

xm|x|,变式2：已知函数f(x)2

其中m0，若存在实数b，使得关于x的方x2mx4m,xm程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

探究三：函数零点的综合问题

x例3、（江苏2013 高考2 0

题）设函数f(x)lnxax，g(x)eax，其中a为实数。

（1）若f(x)在(1,)上是单调减函数，且g(x)在(1,)上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g(x)在(1,)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。

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变式：已知函数f(x)ax2xlnx，aR．

3（1）当a时，求函数f(x)的最小值；

8（2）若1≤a≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点；

四：巩固练习

x3,xa1.已知f(x)2，若存在实数，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则的取值范围x,xa是

.

2xa‚x1‚2.设函数fx若fx恰有2个零点，则实数的取值范围是4xax2a‚x≥1.

3

.

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3.已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x[2,3]时，f(x)2x212x18．若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则实数的取值范围是

.

x24x,x04.已知函数f(x)，g(x)kx1，若方程f(x)g(x)0在x(2,2)有xlnx,x0三个实根，则实数的取值范围为

.

x2(4a3)x3a,x0,(a0,且a1)在R上单调递减，且关于的5.已知函数f(x)loga(x1)1,x0方程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）

a,x16、函数f(x)1|x1|若关于x的方程2f2(x)(2a3)f(x)3a0有五个不同的实数()1,x12解,则a的取值范围是________.

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