3.4.1 函数与方程课件配套优秀公开课教案设计

《函数与方程》教学设计

邗江区蒋王中学 唐元峰

一：教材分析：

1.《函数与方程》是《函数的应用》这一章的第一节内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，也是中学数学中四大思想方法之一，是具体事例与抽象思想相结合的体现。在教学中我采用了问题引领、自主探究的教学法，通过问题情境的设置，让学生由特殊到一般，由陌生到熟悉，让学生从现象中发现本质，以激发学生的成就感和学习兴趣。在现实生活中函数与方程也有着十分重要的作用，因此学好学好函数与方程这一节非常重要。

2.本节内容是学生学习了函数的性质及几种特殊的函数以后来学习的，学生已经有了一定的函数的基础，所以学生不会感到很困难。本节通过研究判断一元二次方程的根的存在性及根的个数建立一元二次方程根与二次函数零点的联系，然后由特殊到一般，从而构建了一般的方程与其对应的函数的联系。它揭示了初中一元二次方程与二次函数之间的内在的本质的联系，进而为下一节利用函数零点的定义求方程的近似解加以应用。

3.本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”，“函数与方程的思想”，“数形结合”的思想。学好本节课可以为学好中学数学打下良好的基础。

二：教学目标：

知识与技能

1.

结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义。

2.

结合零点的定义的探究，掌握方程的实根与相应函数零点之间的等价关系。

3.

结合几类基本初等函数的的图像特征，掌握判断函数零点的个数和所在区间的方法。

情感、态度价值观

1.让学生体验转化与化归、函数与方程的思想，数形结合的思想

2.是学生感受学习、探索发现的乐趣。

教学重点：函数零点与方程的根之间的关系及函数零点的判断方法

教学难点：发现函数零点与方程的根之间的关系及函数零点的判断方法

三：教学过程：

（一）、问题引入

思考下列方程是否有实根，有几个实根？

（1）x2x30 （2）lnx2x60

学生：思考解法。第一个方程学生会利用初中的知识来解方程发现两个根

老师：第二个方程不会解怎么办？如何思考？我们能不能打破思维定式，走出自己给自己画的牢笼。假如第一个方程不会解，也不会用判别式，怎样来判断方程的根的个数？

设计意图：通过设疑，让学生对告辞方程的根产生好奇。

（二）概念形成

1.通过观察二次函数的根与相应的二次函数，找出方程的根，图像与坐标轴的交点的坐标的关系

2

y -1

o

3

x

问题：你能通过观察一元二次方程的根及相应的二次函数图像，找出方程的根，图像与x轴交点的坐标以及函数的零点的关系？

学生活动：观察图像，思考做答。得出结论：方程的实数根应该是函数图像与x轴交点的横坐标。

教师：我们就把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点（引出零点的定义）

2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间关系：

△＝b2－4ac

△＞0 △＝0 △＜0 ax2＋bx＋c＝0的根

bb24acx1,22a

y

x1x2b

2a方程无实数根

y

y

y＝ax2＋bx＋c的图象

O x1

x2

x

O x1＝x2

x

O

x

y＝ax＋bx＋c的零点

2bb24ac

x1,22ax1x2b

2a无零点

教师：根据零点的定义提出问题：零点是点吗？零点与方程的根有何关系？

学生：观察表格得出结论

1.概念：零点不是点，他不是以坐标形式出现而是实数

2.函数零点的意义：函数的零点是方程的根，是图像与x轴交点的横坐标。

3.方程有实根，函数的图像与x轴有交点，函数有零点

（三）性质探究

例1：判断函数f(x)x2x1在区间(2,3)上是否有零点

学生回答：方法1求根，方法2观察图像

教师：从本题中得到零点所在区域有何特点？

2

学生：根据零点的意义结合图像，归纳出零点存在的条件，并进行交流。得出结论

一般的，若函数yf(x)在区间a,b上的图像是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上有零点

问题1若函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续的曲线，那么函数yf(x)在区间(a,b)上有零点，一定能得到f(a)f(b)0吗？

2.若f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)上一定没有零点？

3.若f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)上有几个零点？能否增加条件使函数在区间(a,b)上只有一个零点？

例3：求证：函数f(x)x3x21在区间(2,1)上存在零点. 作业

四：设计简要说明：

本节内容是学生学习了函数的性质及几种特殊的函数以后来学习的，学生已经有了一定的函数的基础，所以学生不会感到很困难。本节通过研究判断一元二次方程的根的存在性及根的个数建立一元二次方程根与二次函数零点的联系，然后由特殊到一般，从而构建了一般的方程与其对应的函数的联系。它揭示了初中一元二次方程与二次函数之间的内在的本质的联系，进而为下一节利用函数零点的定义求方程的近似解加以应用。