2.2.1 函数的单调性教案和课堂实录

§2.2

函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

定义

当x1

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(3)对于任意x∈I，都条件

(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(

×

) x(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函M为最大值

M为最小值

自左向右看图象是下降的

数．(

√

) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(

×

) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

×

) (5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(

×

) 1－x2(6)函数y＝的最大值为1.(

√

) 1＋x2

1．(2014·北京改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．

①y＝x＋1；

③y＝2－x; ②y＝(x－1)2；

④y＝log0.5(x＋1)．

答案

①

解析

①中，函数y＝x＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②中，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函

1－数，故错误；③中，函数y＝2x＝()x在R上为减函数，故错误；④中，函数y＝log0.5(x＋1)2在(－1，＋∞)上为减函数，故错误，故选①. 2．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；

②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；

③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．

其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．

答案

②③④

2x解析

由x21＝x2，未必有x1＝x2，故①不正确；对于f(x)＝2，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f(x1)＝f(x2)⇒x1＝x2，故④正确．

2x3．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是____________________________．

x＋14答案

，1 3解析

f(x)＝2x＋1－22x24＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)3x＋1x＋1x＋1

＝1. 4．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．

答案

(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析

函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．

由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).

题型一

函数单调性的判断

ax例1

(1)判断函数f(x)＝2(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．

x－1(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．

解

(1)设－1

则f(x1)－f(x2)＝ax1ax2－2

2x1－1x2－12ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2ax2－x1x1x2＋1＝＝. 22x1－1x2x1－1x22－12－1∵－1

2∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x22－1)>0. 又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，

∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

(2)令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．

由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2. ∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数．

∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．

思维升华

(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．

(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．

a(1)判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

x(2)求函数y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．

3解

(1)设x1，x2是任意两个正数，且0

aax1＋－x2＋

则f(x1)－f(x2)＝xx12＝x1－x2(xx－a)．

x1x212当0

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0，a]上是减函数；

当a≤x1a，又x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．

a综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上为增函数．

x(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log1u与u＝x2－4x＋3的复合函数．

3令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3. ∴函数y＝log1

(x2－4x＋3)的定义域为

3(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，

∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，

在(3，＋∞)上是增函数．

而函数y＝log1u在(0，＋∞)上是减函数，

3∴y＝log1

(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

3题型二

利用单调性求参数范围

例2

(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．

2－ax＋1，x<1，fx1－fx2(2)已知f(x)＝x满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取x1－x2a，x≥1，

值范围是________．

13答案

(1)[－，0]

(2)[，2) 42

解析

(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

1当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，

a因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，

11所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0. a41综合上述得－≤a≤0. 4(2)由已知条件得f(x)为增函数，

2－a>0，∴a>1，2－a×1＋1≤a，

33解得≤a<2，∴a的取值范围是[，2)．

22思维升华

已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

a

(1)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围x＋1是________．

a

x>1，(2)已知f(x)＝a是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．

4－2x＋2

x≤1答案

(1)(0,1]

(2)[4,8) 解析

(1)由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，∴a≤1. 1∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，

x＋1a∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0，

x＋1故0

x

4－a>0，所以可得2aa≥4－＋2，2a>1，

解得4≤a<8. 题型三

利用函数的单调性求最值

x1例3

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. 2(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

(1)解

令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. x1(2)证明

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，

x2x1由于当x>1时，f(x)<0，所以fx<0，

2即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．

(3)解

∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

x1由fx＝f(x1)－f(x2)得，

29f3＝f(9)－f(3)，

∴f(9)＝2f(3)＝－2. 即f(x)在[2,9]上的最小值为－2. 思维升华

(1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条fx1件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需fx2x1要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；(2)求函数最值的常用方法：①单调x2性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法．

1

(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x2－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．

11(2)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. 3x－1答案

(1)4

(2)6 1解析

(1)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

21又函数f(x)在[，＋∞)上单调递增，

21故f(x)在(－∞，]上单调递减，

2

则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为

f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4. (2)易知f(x)在[a，b]上为减函数，

∴即111fb＝，3＝，b－13fa＝1，

1＝1，a－1

a＝2，∴∴a＋b＝6. b＝4，

利用函数的单调性解不等式

典例：函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2. 思维点拨

(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)

规范解答

(1)证明

设x1，x2∈R，且x10，

∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)

∴f(x)在R上为增函数．

(2)解

∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，

∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3

即a∈(－3,2)．

解函数不等式问题的一般步骤：

第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)

第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒

本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)

方法与技巧

1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤：

(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．

2．判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法．

失误与防范

1．区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函1数如函数f(x)＝. x

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是________．(填序号) 1①f(x)＝；

x③f(x)＝ex;

答案

①

解析

由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

1①中，f(x)＝满足要求；

x②中，f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；

③中，f(x)＝ex是增函数；

②f(x)＝(x－1)2；

④f(x)＝ln(x＋1)．

④中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．

2．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．

3答案

[0，] 4解析

当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；

a>0，3当a≠0时，由4a－3得0

4－≥3，4a3综上a的取值范围是0≤a≤. 43．(2014·天津改编)函数f(x)＝log1(x2－4)的单调递增区间是________．

2

答案

(－∞，－2) 解析

因为y＝log1t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x22－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．

14．已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是________．

x答案

(－∞，0)∪(1，＋∞) x－11解析

依题意得<1，即>0，

xx所以x的取值范围是x>1或x<0. 5．定义新运算“”：当a≥b时，a－(2b＝a；当a

答案

6 解析

由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 6．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调增区间为________．

答案

[3，＋∞) 解析

设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，

解得x≤－1或x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y＝t在[0，＋∞)上单调递增．

所以函数f(x)的增区间为[3，＋∞)．

7．已知函数f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．

答案

(－3，－1)∪(3，＋∞) a－a>0，解析

由已知可得a＋3>0，a2－a>a＋3，1)∪(3，＋∞)．

ax＋18．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．

x＋2a答案

[1，＋∞) ax＋2a2－2a2＋12a2－1解析

f(x)＝＝a－，

x＋2ax＋2a∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．

222a－1>02a－1>0∴⇒⇒a≥1. －2a≤－2a≥12

解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－

119．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，

ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

11(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

22(1)证明

设x2>x1>0，

则x2－x1>0，x1x2>0，

1111∵f(x2)－f(x1)＝(－)－(－) ax2ax111x2－x1＝－＝>0，

x1x2x1x2∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

11(2)解

∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，

221又f(x)在[，2]上单调递增，

211∴f()＝，f(2)＝2. 222易得a＝. 5210．已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小x＋1值．

22解

设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－－(－) x1＋1x2＋12x2＋1－x1－12x2－x1＝－＝－. x1＋1x2＋1x1＋1x2＋1由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

故f(x)在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f(x)＝－2在区间[0,2]的左端点取得最小值，右x＋12端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－. 3B组

专项能力提升

(时间：20分钟) a－3x＋5，

x≤1，1．已知函数f(x)＝2a是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围，

x>1x是________．

答案

(0,2] a－3<0，解析

由题意得a>0，解得0

1

2．已知f(x)为R上的减函数，则满足fx答案

(－1,0)∪(0,1) 11，

解析

由fxx11∴>1或<－1，

xx∴0b.

函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

答案

1 log2x，0

依题意，h(x)＝

－x＋3，x≥2.

当0

当x≥2时，h(x)＝3－x是减函数，

∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.

x4．已知f(x)＝

(x≠a)．

x－a(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

(1)证明

任取x1

2x1－x2x1x2则f(x1)－f(x2)＝－＝. x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)解

任设1

ax2－x1x1x2f(x1)－f(x2)＝－＝. x1－ax2－ax1－ax2－a∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)内恒成立，∴a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]．

x2＋2x＋a5．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

x1(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

11解

(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，

22x1设1≤x1

2x1x2∵1≤x10,2x1x2>2，

∴0<111<，1－>0，

2x1x222x1x2∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)

∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，

7∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝. 2(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立

⇔x2＋2x＋a>0恒成立．

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，

故a>－3.