2.1.2 函数的表示方法教案设计

界首中学高一数学组

函数的表示方法（1）

【学习目标】能熟练掌握函数的三种不同表示，了解函数不同表示法的优缺点。了解分段函数。

【学习重点】函数的三种不同表示的相互间转化；函数的解析式的表示，理解分段函数。

【问题情境】

1、在初中我们学习了哪几种函数？它们的解析式分别是什么？

2、在初中，我们表示函数有几种方法？

【学生活动】

问题1、学生回顾初中所学习过的三种函数、三种函数的解析式的求法以及函数的表示方法。

一次函数的解析式为

；反比例函数的解析式为

；二次函数的解析式的三种形式：

、

、

。

问题2、已知二次函数fx的图象经过三点A,,B1,3,C2,3，试求函数fx的解析式。

解：因为函数fx的图象过点B1,3,C2,3，所以函数fx的对称轴为x213241，

21313又函数fx的图象A,，故设fxax，将B点坐标代入解析式得242413133a1，解得a1，故函数fxx。

2424说明：1、此为待定系数法求函数解析式，用此方法必须知道函数的类型，才能设出含有参数的解析式，从而代入条件，解方程（组）得到参数的值，即得到函数解析式。

2、对于求一元二次函数的解析式时，要根据具体条件进行合理地设出解析式，然后求解。

【建构数学】

1、函数的常用表示方法：

①解析法：

；

②列表法：

；

③图象法：

。

2、常见函数的解析式：

①一次函数：

；②反比例函数：

；

③一元二次函数：

、

、

。

【数学应用】

例1、购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为xx1,2,3,4的函数，并指出函数的值域。

说明：三种表示方法的各自的特点：

1 22

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①解析法的特点：

②列表法的特点：

③图象法的特点：

例2、画出函数f(x)x的图像，并求f(3)、

；

；

。

f(3)、f(1)、f(1)的值。

变式：画出函数f(x)x3的图像。与f(x)x图像有什么关系？

例3、某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km

以外的路程按2.4元/km收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式。

7,0x3解：y。

72.4x32.4x0.2,x3说明：1、分段函数：在定义域的不同部分上，有不同的对应法则，象这样的函数通常叫作分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。

．．2、回答下列问题：

（1）函数的定义域是_______________. （2）若x8，则y_______________；若y11.8，则x_______________. （3）画出函数的图像。（注意分段函数图象的画法）

（4）函数的值域是_______________。

x2(x1)21例3、已知函数f(x)x(1x2)，求f(5)、f(4)、f()；

42x(x2)若f(a)3,求a的值。

变式1：已知函数fxx1,x1，则x3,x153ff；

22x2(x0)变式2：已知f(x)2x1，g(x)

，则f(g(x))=

；g(f(x))1(x0)＝

。

122x1,x222x1,x0fgx，gfx。

3,x01,x12

变式3：①作出函数y|x2|(x1)的图象，并求函数的定义域与值域。

②已知函数fx|x1||x2|。

2

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（1）作出函数的图象；（2）写出函数的定义域和值域。

解：（1）略；

（2）定义域R,值域yy3

变式4：作出下列函数的图象：

（1）fxx22|x|1；

（2）fx|x22x3|

思考：函数yfx的图象与函数yf|x|的图象的关系是什么？函数yfx的图象与函数yfx的图象的关系是什么？

例4、如图AOB是边长为2的正三角形，这个三角形在直线xt左侧部分的面积为y,求函数yf(t)的解析式，并画出yf(t)的图象.

yA

OBx

【新知回顾】

列表法

函数的表示方法

解析法

图象法

【新知巩固】

限时作业：

1、物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比。已知开始下落的2s内，物体下落了19.6m，则开始下落的3s内物体下落的距离是

2、设函数f(x)13x，它的值域为2,1,1,3,4，求此函数的定义域。

3 

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3、已知函数f(x)x,(x0)x,(x0)2，则f(f(2))＝

。4

4、请写出三个不同的函数解析式，满足f(1)1,f(2)4。

5、若函数y(x0)2x1

则f(3)的值为

。

(x0)2x36、建造一个容积为8m、深为2m的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为120元/m2

和80元/m2，则总造价y（元）与关于底面一边长x（m）的函数解析式是 ，且此函数的定义域是

(x0)x217、若函数f(x)

，若f(a)10，则a的值为

。3

(x0)2xx8、函数f(x)2x29、设函数f(x)(x0)(0x1)的定义域为 (1x4)x3,(x10)，则f(5)＝

．

f(f(x5)),(x10)

10、若一个函数满足fxyfxfy，则满足该条件的一个函数解析式是fxx4,3x0211、已知函数f(x)x2x,0x4

x2,4x5（1）

求f(5)、f(f(5))、f(f(f(5)))；

（2）

作出函数图像并求函数值域。

y

12、函数f(x)在闭区间[1,2]上的图象如下图所示，则求此函数的解析式，定义域，值域．

1

0

1

4 2

x

1

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x1,1x0解：fx1。

x,0x22

x21,0x213、已知函数fx3x1,2x4,，（1）f1f511,x4（2）求yf(x)的值域；（3）若fx4，求x。

解：（1）1,11；（2）3。

；

14、画出函数y|x1||x2|2、yx2x的图象并求值域。

解：函数y|x1||x2|2的零点是x1和x2，所以

2x1,x1,y1,1x2,作出函数的图象（如图），

2x3,x2.从函数的图象可以看出，函数的值域为[1,)

y

1

1

O

2

x

[x]表示不超过x的最大整数，15、作出函数f(x)[x](xR)的图象，其中，如[2.6]2，[1.3]2．

y

2,1,解：f(x)0,12

3 x[2,3)x[1,2)x[0,1)x[1,0)x[2,1)3

3

O

3 x

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x216、已知函数f(x),xR. 21x1111（1）求f(x)f()的值； （2）计算：f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f(). x234

1x2(x0)(x0),g(x)17、已知两个函数f(x)，

x22x(x0)x(x0)（1）当x0时，求f[g(x)]的解析式；（2）当x0时，求g[f(x)]的解析式；

(3) 解不等式g(x)2。

6