复习参考题教学设计及教案分析

函数模型及其应用

张金铃

函数模型是解决复杂的数学问题的有力工具。然而，要能够对各种问题有准确的判断，并且找到最为合适的函数模型，则需要学生具备较好的思维能力及数学基础。高中范围内一些常见的函数模型，如一次函数模型，二次函数模型，反比例函数模型，指数函数、对数函数、幂函数模型，以及分段函数模型，我们要掌握它们各自不同的特性以及它们增长的差异性。结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长缓慢等不同函数类型增长的含义。

解函数模型及其应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意，分清条件，找准变量，理顺数量关系，初步选择数学模型。（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。（3）求模：求解数学模型，得出数学结论。（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。

题型一、函数图象的应用

例1：如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是

（ ）

【解析】选C；A、B、D的面积都是随着t的增大而增长,其速度先慢再快最后又慢，到t＝时，增长的速度最快，而C图则从t＝开始匀速增大与f(t)不符．

22【点评】本题关键抓住t每增加单位长度，面积的增量的变化大小．

变式：某地一年内的气温Q(t)（单位：℃）与时刻t（月份）之间的

关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃．令C(t)表示的时间段

[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是（ ）

aa

【解析】选A；由图可以发现当t=6时，C(t)=0，排除C；t=12时，C(t)=10，排除D；t在大于6 的某一段气温超于10，所以排除B，故选A．

题型二、一次函数、二次函数及分段函数模型的应用

例2：某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对t,p，点t,p落在图中的两条线段上．该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：

第t天

4

10

30

16

24

22 18

（1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；

（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；

（3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？

【解析】（1）设表示前20天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数1关系式为P＝k1t＋m，将0,2,20,6代入得P＝t＋2 5设表示第20天至第30天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函1数关系式为P＝k2t＋n，将20,6,30,5代入得P＝－t＋8 101t2,0t205(tN*)．

综上可知P1t8,20t3010

Q（万股）

36

（2）设日交易量Q与时间t满足一次函数关系式为Q＝at＋b

（a、b为常数），将（4,36），（10,30）代入，得Q＝40－t（0

（3）由（1）（2）可得

121(t2)(40t)t6t80,0t2055P(tN*)

(1t8)(40t)1t212t320,20t3010101当0

5∴当t＝15时，ymax＝125；

12当20≤t≤30时，函数y＝t－12t＋320的图象的对称轴为直线t＝60，

10∴该函数在[20,30]上单调递减，即当t＝20时，ymax＝120. 又125>120，故第15天日交易额最大，最大值为125万元．

【点评】分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数特点决定的．由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，此题考察一次函数、二次函数的解析式以及求最值等问题，学生容易忽略变量的范围中的tN*，导致出错。分段函数在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材．

变式：某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

（1）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；

（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？

【解析】（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋60－51＝550(个)．

0.02∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．

（2）当0

当100

当x≥550时，P＝51.

60，

0

（xN*）．

（3）设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为S元，则

20x，

0

（xN*）

当x＝500时，S＝22×500－0.02×5002＝6 000（元）；

当x＝1 000时，S＝11×1 000＝11 000（元）．

故当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果一次订购1000个零件时，利润是11000元．

题型三、指数、对数型函数及幂函数模型的应用

例3：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：

x y1

y2

y3

1.00

5

5

5.00

3.00

135

29

6.10

5.00

625

245

6.61

7.00

1 715

2 189

6.95

9.00

3 645

19 685

7.20

11.00 6 655 177 149 7.40 其中x呈对数函数型变化的变量是 ，呈指数函数型变化的变量是 ，呈幂函数型变化的变量是 ．

【解析】由于对数缓慢增长，指数爆炸增长，幂函数稳定增长，故填y3，y2，y1．

【点评】由表格数据增长趋势，体会指数、对数、幂函数等不同函数类型增长速度．一般地，形如y＝ax

（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数ybaxk作为模型的应用问题很常见，称这类函数为指数型函数模型．以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关，在现实生活和科学技术领域，诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳－14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型．

变式：已知镭每经过100年衰变后剩留质量是原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留质量为y，则x与y之间的关系为（

）

A、y＝0.9576 B、y0.9576C、y10.0424x100xx100

D、y(1000.9576x)

1001100【解析】设每年的衰变率为P，则(1p)x0.9576,p10.9576,质量为1的x100镭经过x年后剩留质量为y1(1p)0.9576.

a(a0)”型函数模型

x例4：

已知按A设计方案，建造一栋房子的造价是由地面部分和基础部分两部题型四、“yx分造价组成，若建造一栋面积为M的房子，地面部分的造价Q＝K1MM，基础部分的造价PK2M(其中K1,K2为正实数)，又知按A设计方案建造一栋面积为1600m2的住房，共造价是176.8万元，且地面部分的造价是基础部分的36％．现要按A设计方案，建造总面积为40000m2的住房若干栋，试问：建造多少栋可使其总造价最少？

【解析】：由题意，面积为M的一栋房子造价为yK1MMK2M，

由176.8＝K116001600K21600，K116001600K2160036%解得K111713，K2．

160000440000．

n设建造n栋房子，可使总造价最低，则M面积为M的一栋房子造价为

y117400002001320091650()，

160000nn4nnnn99)．由函数f(x)x(x0)的单调性可得，

xn总造价Wny650(nf(x)在(0，3]上单调递减，在[3，)上单调递增，

当n3，即n9时Wny650(n9)取得最小值．

n故建造9栋可使其总造价最少．

b【点评】对于形如yax(a0，b0)型的函数模型问题的解决常利用函数x

的单调性解决，也可采用基本不等式处理，但要密切注意函数的定义域，否则极易出错。

变式：某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．

(1)设半圆的半径OA＝r(米)，求塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；

(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元) 解：（1）塑胶跑道面积

210000r80000Srr8828r64

2rr22r2100000r100

（2）设运动场的造价为y元

8000080000y1508r6430100008r64rr

800003000001208r7680r令fr800008r rf'r880000

r2当r30,40时，f'r0

80000故函数y3000001208r7680在30,40上为减函数，

r当r40时，ymin636510

即运动场的造价最低为636510元。

小结：解函数应用题常见错误：

（1）

审题不清，导致理解错误。

（2）

不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面。

（3）

在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。

（4）

对含参数的问题不讨论或讨论不完备。

【巩固练习】

1．某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：

①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；

②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；

③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；

④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．

你认为较合理的是（

D ）

A、①②③ B、①③④

C、②④ D、②③

2．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V=f(h)的图象大致是（ D ）

A、 B、 C、 D、

3．一商品零售价2007年比2006年上涨了25%，欲控制2008年比2006年只上涨10%，则2008年应比2007年降价____12____%．

4．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的1，要使通过玻璃的光线强度为原101来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)( B ) 3A．10

B．11

C．12

D．13 5．某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(xN)名员工从事第三产业，调整后他们平3xa－万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的均每人每年创造利润为10500利润可以提高0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

解：（1）由题意得

101000x10.2x%101000

即x2500x0,又x0且xN*

0x500且xN*

即最多调整500名员工从事第三产业. 3x（2）依题意10ax101000x10.2x%

5003x21210002xxx

即ax500500即a因为x10001恒成立

250xx1000x1000x1000（当且仅当时，即x500时取“=”）

24250x250x250xa5,又a0 0a5

即a的取值范围为0,5

6．如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速度移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR))．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与11vcS成正比，比例系数为；②其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移102

3动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝时，

2（1）写出y的表达式；

(2)设0

【解析】：（1）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为 故y100315(vc)(3vc10).

v202v31vc，

20255(3c10)15;

（2）由（1）知，当0vc时，y(3c3v10)vv55(103c)15;

当cv10时，y(3v3c10)vv5(3c10)15,0vc,v故y

5(103c)15,cv10.v①当0c10时，y是关于v的减函数，

33c.

2故当v10时，ymin20①当10c5时，在0,c上，y是关于v的减函数; 在c,10上，y是关于350.

cv的增函数，故当vc时，ymin