习题2.3教学实录

第16讲 幂函数

【课时目标】

1.通过具体问题，了解幂函数的概念. 2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．

【知识梳理】

1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

23－1122．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x象．

2312－1的图

3．结合2中图象，填空．

(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．

(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．

(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．

(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．

(5)幂函数在第____象限无图象．

【典型例题分析】

题型一：幂函数的概念

例1.已知函数f(x)(m22m)xm2m1，m为何值时，f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数。

变式1.函数y(mx4xm2)值范围是（ ）

214(x2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取A.(51,2) B.(51,) C.(2,2) D.(15,15)

1

变式2.幂函数y(mm1)x25m3在(0,)上位减函数，则实数m的值为（ ）

15

2 A.m=2 B.m=-1 C.m=-1或m=2 D.m题型二：幂函数的性质

1例2.已知幂函数yf(x)xm2m(mN)，

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若该函数还经过点(2,2)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围。

例3.已知函数f(x)x31kk222(kZ)

（1）若f(x)为偶函数，且在(0,)上是增函数，求f(x)的解析式；

（2）若f(x)在(0,)上是减函数，求k的取值范围。

变式3.已知函数f(x)x2m2m3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)。

（1）求m的值，并确定f(x)的解析式；

（2）若g(x)log[f(x)ax](a0,a1)，是否存在实数a，使g(x)在区间[2,3]上位增函数。

题型三：幂函数的图像

2

23例4．下列是y＝x的图象的是(

)

例15．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，2C2，C3，C4的n依次为(

)

11A．－2，－，，2 2211B．2，，－，－2 2211C．－，－2,2，

2211D．2，，－2，－

22【高考真题】

1.（2010年北京高考题）给定函数(1)yx；(4)y2(2)ylog1(x1)；(3)yx1；212x1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是_______________.

a2.（2008年山东高考题）设a{1,1,,3}，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所12有a的值为_____________________.

3.（2007年山东12高考题）设函数f1(x)x,f2(x)x1,f3(x)x2,则f1{f2[f3(2007)]}____________.

4.（2011年全国高考题）下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是(

)

A.yx

B.yx1

C.yx1

32xD.y2

【课后总结】：

1．幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝x，当α＝(m、n∈N，m、

nmnmαnm*n互质)时，有：

3

nmn 奇数

偶数

奇数

nmm 偶数

奇数

奇数

y＝x的奇偶性

非奇非偶函数

偶函数

奇函数

nm定义域

[0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 3.幂函数y＝x的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．

作业：

1．下列函数中不是幂函数的是(

) A．y＝x

B．y＝x3

－C．y＝2x

D．y＝x1

12．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为(

) 22A.

B．64 41C．22

D.

645．设a＝，b＝nm352522，c＝，则a，b，c的大小关系是(

) 553525A．a>c>b

B．a>b>c

C．c>a>b

D．b>c>a

6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是(

) A．0

B．2 C．3

D．4 二、填空题

7．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的序号为________．

8．函数y＝x＋x1的定义域是____________．

－－9．已知函数y＝x2m3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．

三、解答题

－1210．比较1.

1、1.4、1.1的大小，并说明理由．

4 121213

11．如图，幂函数y＝x此函数的解析式．

能力提升

23m－7

(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求12．已知函数f(x)＝(m＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；

x(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

113．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何4值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)

m2m1

5