信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学评价实录

教学设计方案

课题名称

年级学科

高一

用二分法求方程的近似解

教材版本

人教A版

一、教学内容分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书

·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。

本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。

二、教学目标

1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；

2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；

3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。

三、学习者特征分析

同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。

四、教学过程

教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。根所在区间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

预设学生活动

设计意图

1、利用视屏与游戏的形1、大家都看过李咏主持的<幸运52>吧,今天咱也试一回(出示游戏)。

1、教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法。

式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛；

2、通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求2、学生能够主动参与游戏，并方程近似解”的2、竞猜中，“高且参与游戏的同学可以比较并时候埋下伏笔；

了”、“低了”的含义是总结经验。学生会有很多种方3、通过游戏，什么？如何确定价格案出来。3、对于“问题2”学让学生经历游的最可能的范围？

生能够顺利的得出“主持人的3、如何才能更快戏过程，感受数“高了，低了”的回答是判断的猜中商品的预定价激价格所在区间的依据”这个结学来自生活，格？

论。

发学生的学习4、“二分” 的思路是什4、此时教师通过“问题3”兴趣；引导学生么？

引导学生进行比较哪种方法更善于发现身边

快更好。从中学生可以得到用的数学，培养学二分法解决问题的思路——二生的归纳演绎分指的是将解所在区间平均地的能力；学会将分为两个区间。

实际情景转化为数学模型。4、通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方

法——二分法；

1、教师通过“问题1”对上节1，将学生的思课的内容进行复习引入，点出路与前面已解1、上节课我们学了什么定今天的课题。并且有前面游戏决的问题联系理，它的作用是什么？还有作为伏笔，学生能够得出“连起来，引导学生什么问题没有解决？

2、已知函数

在区间（2，3）内存在一个零点；如何求出方程

续函数零点存在定理”是判断层层深入，抽丝方程的根所在区间的依据。2、拨茧，学习如何通过“问题2”应用具体的题目分析问题、如何引导学生进行思考。学生通过利用新的知识引导将方程的解与商品的价格解决问题；培养联系到一起，运用刚才的游戏分析问题、解决的经验，得到缩小区间的想法。

问题的能力，以3、学生对精确度的概念可能有及运用知识、驾所遗忘。教师可以借助数轴解驭知识的能力。

释说明精确度的含义，引导学3、师生的互动生思考什么时候停止操作。

有利于一边引在区间（2，3）的近似解（精确度为0.01）？与刚才的游戏是否有类似之处？

3、精确度的含义是什么？怎4、教师通过“问题4～6”引导导一边总结。将样的区间才算满足设定的精学生将“二分法”与“零点存二分法应用于确度？

在定理”相结合得到正确的新解决实际问题，4、区间（2，3）的精确度为的零点所在的区间。并确定结即将新的知识多少？

束的时间。

应用于解决新5、如何将零点所在的范围缩5、学生按照游戏的方法也就是的问题。培养学小（即如何将精确度缩小）？按照“二分法”的思路，不断生实际应用的缩小的依据是什么？

缩小零点存在的区间，进行具能力，解决问题6、如何利用今天“猜价体操作，填出（附录1）中的表的严谨性，总结格”——“二分法”的逼近思想格。表格刚开始的前几行学生知识的逻辑性。来将缩小区间？

可能会比较慢，也有可能会出使得最后方法7、近似解是多少？

错；通过多次的重复以及经验的总结能够顺的总结，后面的表格可以正确利进行。

的、快速的回答出来；使得最4、有了前面的

后的“应用二分法求函数的零商品的竞猜过点”的方法的总结更加顺利。

程的经历，学生6、对于“问题7”学生比比较容易入手，分析比较容易较不容易得到比较简洁的结到位，从而降低论。教师可以进行解释说明：思维的难度。

“由于整个区间内的数均满足知识连接：1、精确度的条件，因此区间内的函数零点存在所有数均可以作为近似解，但，定理 如果函数在区区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解。”，间上图像是连续不断的一条最后得到方程的近似解（附录1曲线，并且有的表格后面的内容）。

，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。

2、精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量。一般是：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 1、我们刚才得求解过程中学生经过老师

“问题1～2”

的1、不断的引导，

有哪些过程是一直重复出现提示与引导，可以得到“取区将刚才的解题的？

间的中点，计算函数值，比较过程经过“自然语言——去其糟粕取其精华——具体步骤”2、我们取其一段，大家看如符号，确定新的区间”这样的语言——数学何用数学语言来描述？3、点相同的过程。

明求方程的近似解的“二分学生根据“二分法”的定义进法”：对于在区间（a，b）上行归纳总结：运用二分法求方连续不断、且f（a）·f（b）程的近似解的步骤（附录2）。的过程，帮助学<0的函数y＝f（x），通过其中步骤①

“画图或利用函数生学会归纳总不断的把方程的解所在的区值的正负，确定初始区间(a,b)，验结的方法。

间一分为二，使区间的两个证f(a)f(b)<0”；学生很有可能会2、课间的及时端点逐步逼近近似解，进而有遗漏。此时可以提出“问题5”总结有利于学得到近似解的方法叫二分引导学生回忆、思考，从而得法．

分法求方程的近似解的步骤到运用二分法的前提——即步4、进一步提出问题：运用二骤①。

生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌对于“问题六”较好的学握了什么知识，是什么？

在后面的作题生才能回答出来。

5、运用二分法的前提是什么中可以有法可（游戏的开始时要先做什么工作）？引例条件的内涵是什么？

6、二分法的实质是什么？它有什么作用?

依，可以提高解题的正确率，增强自信。

3、问题六的设计是将学生的思维得到升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次。

知识链接：1、运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间。

2、二分法实际

上是一种通过缩小区间长度寻找解的一种方法．

[设计意图：1、不同层次的题目，层层递进，1．练习：（1）（2）题为例题不断提高学生不仅巩（2）经过同桌两位的能力。仿照题，由同桌协助完成.练习1.（1）（3）固新学的知识，（3）（4）考察二分法的含义,同学合作可以顺利完成。由同学独立完成,可以寻求（4）独立完成如果有困难的同而且让不同层学在同伴或老师的帮助下可以次的学生得到不同的收获；

2．思考：两道题均为实际应完成。

用题,为学有余力的同学提练习2实际应用：学有余力的2、培养合作、互助精神；

高能力。（附录4）

同学与同伴合作探讨，也可以3、培养学生应3． 课后作业：习题3.1A解决。

用与创新的能组3、4；B组1、2。

帮助.（附录4）

力，利用二分法的逼近思想解决实际问题。] 设计意图：学生的归纳总结的教师通过点名提问，学生能力不强需要课借助教师的帮助对整节课进行不断的培养；后的总结有利请同学们回顾一下本节最后的归纳总结,得到以下两于学生对整节课的教学过程，你觉得你已经点（1）二分法是一种求一元方课的内容进行掌握了哪些知识？

程近似解的通法。（2）利用二升华，了解自己分法来解一元方程近似解的操掌握了什么知作步骤（附录3）。

识，养成良好的学习习惯，建立自信心。

六、教学评价设计

1．练习：（1）应用计算器，求方程x+3x-1=0的一个正的近似解。

（2）应用计算器，求方程（3）用二分法判断方程

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 （4）方程的根的情况

(

) A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根

2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？

(2)一天，我们泉州七中校区与现代中学（分校）校区的电缆线路出了故障，（相距大约10km）电工是怎样检测的呢？

七、教学板书

的近似解。

的根的个数（

）

31 精度的定义

2 二分法求方程的近似解的步骤。

八、教学反思

1.本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好的赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分的运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际（特殊）——二分法的理论（一般）——二分法的应用（特殊），”。让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美。2.

引入课题的方式，（1）从生活中常见现象——“商品价格的竞猜”引入；（2）开门见山——“继续前面的研究”引入。

2.本节的教学设计的成功之处。

能够从知识结构、学生的认知结构展开，充分挖掘和体现了本课内容所蕴含的知识技能、思想方法、数学应用、数学文化的教育价值及学习研究解决问题的

策略，立足“方程与函数的关系”，渗透了“算法”和“逼进”的数学思想，程序化的解决问题的策略。从生活游戏“猜价格”引入贴切，通过游戏直观感受二分法的思想，开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，将本节的知识建构在旧知识的体系中。设计中不管是情境的创设，还是教师的引导和数学活动的设置，都能从学生的实际出发，让学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思建构等思维的全过程。在设计中还注意到数学的应用意识，思考题中把“二分法”应用到电缆线故障点的检修，提升了数学方法的重要性和普遍性，体现了数学与生活的联系。