复习参考题第二课时教案

课题：识图知性

不等恰立

主讲人：陈硕罡

引入问题

尝试解答

(2015年金丽衢十二校第二次联合考试)设f(x)=4x+1+a▪2x +b(a,b∈R)，若对于任意x∈[0,1]，

| f(x)| ≤1恒成立，则b

. 2分析思路

尝试解答

分析：令2x= t ,函数g(t)=4t2+at+b，则原题等价于，对于任意t∈[1,2]，

|g(t)| ≤立

思路一：“恒成立”问题一般可转化为函数最值问题解决，本题等价于g(t)max1恒成21且21g(t)min，只要讨论函数y=g(t)在区间[1,2]上的单调性即可. 2a解：函数y=g(t)的对称轴方程是：x

8a(1)当1时，即a≥-8时，函数y=g(t)在区间[1,2]上的单调递增

81yg(2)162abmax2

两式相减可得：a≤-11，不成立；

则yg(1)4ab1min2(2) 当a2时，即a≤-16时，函数y=g(t)在区间[1,2]上的单调递减

81yg(1)4abmax2则

两式相减可得：a≥-13，不成立；

1yg(2)162abmin2(3) 当1a3时，即12a8时，函数y=g(t)在区间[1,2]上的先减后增

82

1yg(2)162abmax2

两式相减可得：a≤-12，不成立；

则yg(3)93ab1min222(4) 当3a2时，即16a12时，函数y=g(t)在区间[1,2]上的先减后增

281yg(1)4abmax2则

两式相减可得：a≥-12，

yg(3)93ab1min222所以a= -12,此时b综上所述：b17，经检验满足条件；

217

2本题是一个填空题，用思路一的方法当然可以解决，但费时费力，应该也非命题者要考察的东西，我们可以尝试从几何的角度来分析这个题目. 思路二：从几何的角度，就是存在一组实数a,b，在

t∈[1,2]，使函数g(t)=4t2+at+b的图象能夹在两平行线y11和y之间，实数b的变化可以让函数图象上下平移，所22以函数y=g(t)在区间[1,2]上的最大值和最小值的差不能超过1. 解：由于字母a,b的变化只会改变函数y=g(t)图象的位置，不改变其形状，所以函数y=g(t)的图象就是y4t平移出来的，则只需要考虑函数y4t在一个长度为1的区间上的最大值和最小值的差不能超过1.由函数图象可知，只有如图所示的情线下才满足条件：

所以满足题设的函数只有：y4(x)22y0.5O-0.512t3221

2

即只有a12,b1717时满足条件，所以b. 22对于思路一：对于含参数函数不等式恒成立问题，从代数的角度看，其常用的思路是转化为函数最值问题，对参数进行分类讨论进而解决问题.方法很常规，缺点是比较耗时间，学生对双参数的讨论还是有难度的，客观题这样处理有点小题大做的味道. 对于思路二：对于含参数函数不等式恒成立问题，从几何的角度看，可以转化成函数的图象问题，其核心是要理解不同参数对于图象变化的影响，可以迅速的把一个复杂的双参数讨论问题转化为函数图象问题解决，省时省力，缺点是对学生的思维能力要求较高，这也是命题者想通过这个题目要考察的学生能力之一，在平时的解题过程中注意这种思维方式的培养. 追本溯源

总结提升

（人教A版数学必修1第99页）观察：请在图象上分别标出是不等式：log2x2xx2和log2x2xx2成立的自变量x的取值范围.

解：画出函数ylog2x,yx2,y2x的图象，如图所示，从图中三个函数的图象特征可得到：

当x(2,4)

不等式log2x2xx2恒成立；

当x(0,2)(4,)

不等式log2xx22xyQ(4,4)y = 2xy = x 2P(2,4)y = log2xOx恒成立. 小结：利用函数图象特征解决函数不等式恒成立问题. 分析特征

聚焦问题

(2012年浙江省理科第17题)如果当x0时，不等式[(a1)x1](xax1)0恒2

成立，则实数a

. 分析：本题也是一个含参数函数不等式恒成立问题，从几何的角度看，就是一个一次函数和一个二次函数在[0,)上的函数值不能异号，可通过分析两个函数图象特征快速解决问题. 解：设f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1，由函数y=g(x)的解析式可知，在[0,)上函数图象于x轴有一个交点P，则函数y=f(x)的图象必须单调递增且过这个交点P（如图所示），否则就会存在区间D，在这个区间上两个函数的函数值异号，不满足条件.

所以两个函数在[0,)的零点相同，则(yy = g(x)f(x)OPx1213)a10，解得a或者a1a12a0，由图可知a0，所以a3. 2小结：从以上两个例子可以看出，从几何角度我们可以根据函数的图象特征发现所谓的“恒成立”问题，其实只有一种情况能满足条件，我们根据函数图象可以非常快的解决此类“恰成立”问题. 用几何法解决这类含参数函数不等式恒成立问题的基本步骤：（1）把题设条件转化成几何图形，如果有些条件不能直接转化成几何图形，要先对条件进行变形；（2）利用几何图形的特征准确高效的解决问题. 延伸拓展

触类旁通

（2013浙江省文科第16题）设a,b∈R，若x≥0时，恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2，则ab=____

分析：为了让这个不等式的几何意义更明确，现在对不等式变形，两边同时减去x4-x3则

原式变为：x3-x4≤ax+b≤x3-2x2+1，其几何意义为存在一条直线y=ax+b夹在两个函数f(x)=x3-x4,和g(x)=x3-2x2+1之间. 解：原不等式变形为：x3-x4≤ax+b≤x3-2x2+1，

令f(x)=x3-x4, g(x)=x3-2x2+1，

则原题等价：存在一条直线y=ax+b夹在两个函数f(x)=x-x和g(x)=x-2x+1之间. 3432y1y = g(x)P(1,0)画出函数f(x)=x3-x4和g(x)=x3-2x2+1的图象可知，两个函数均过点P(1,0)(如图所示)，满足题设的直线只能是两个函数在点P处的切线（即两个函数的公Oy = f(x)xy = ax+b切线），可求得此切线方程为y=-x+1,经检验仅有这条直线满足题设条件，所以a =-1 , b =1 , ab =-1.

以上着重对一类含参数函数不等式“恒成立”问题做了整理，共性是从几何角度切入，利用函数图象发现满足条件的情形最多只有一种，只需求出这种情况，进行检验就求得了参数的取值.高考题中的新颖的函数不等式问题，从代数的角度看是函数最值问题，如果能从几何的角度利用函数的图形特征解决问题，往往能事半功倍.以上考题主要考查了转化与化归思想以及数形结合能力.