小结特级教师教学实录

3.1.1

教学设计

新乐一中 周长伟

《方程的根与函数的零点》

3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计

-----新乐一中 周长伟

教材分析：

必修一第三章“函数与方程”是近年来高考关注的热点，是中学数学的核心概念，本节课方程的根与函数的零点是整章内容的一个链接点，并且于其它知识有广泛的联系性，地位重要。

学生情况分析：

本节课的授课对象是重点高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，

教学目标：

1、知识与技能 （1）了解函数零点的概念；

（2）理解函数的零点与方程的根的联系； （3）掌握函数零点存在的判断方法。 2、过程与方法 （1）通过自主探究，合作交流，经历“特殊→一般”、

“类比→归纳→应用”的过程，领会函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；

（2）感悟由具体到抽象的研究方法；

（3）培养学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观 （1）体验探究的乐趣； （2）认识到万物的联系与转化，培养学生用联系的观点看问题；

（3）养成严密思考的良好学习习惯。 教学重点与难点：

1、教学重点：

函数的零点与方程的根的联系，函数零点存在性的判定依据。

2、教学难点：

准确理解概念，探究发现函数零点存在的条件。 教学过程

设计：

（一）

引入

填表并回答思考1：以下一元二次方程的根与相应二次函数的图象有什么关系？

结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数的图像与X轴交点的横坐标（且方程根的个数等于对应函数图像与X轴交点的个数）

思考2：

（让学生口述）

推广到所有函数：方程f(x)=0有实数根等价于函数的图象与x轴有交点。

【设计意图】：

以实例说明方程、函数、函数图象三者的关系，渗透数形结合的思想，为一般的方程与其对应函数的关系作准备。

-1和3的第三种说法是：函数的零点，并让（学生填空、猜想）零点的定义。

（二）

函数的零点定义：

对于函数y=f(x) ，我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x) 的零点．

思考3：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴的交点的横坐标，

这三者有怎样的关系呢？

（学生讨论）

小试牛刀1：判断下列函数是否有零点，若有则求出函数的零点？

x1（1） f(x)x24x12（2）

f(x)e（3）

1+1,x<0f(x)=x2x-4,x>0（学生板书）

【设计意图】：

巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求相应方程的实数根，或者通过函数图象寻找图象与x轴交点的横坐标，再一次明确函数的零点是一个实数，不是一个点。

（三）小组合作探究：已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列三种情况下经过A、B两点的可能的函数图象。并指出哪种情

况下一定存在零点？

【设计意图】：通过小组讨论，引导学生寻找零点存在的条件，培养学生的动手实践能力；将函数的零点转化到图象上来，使抽象的问题直观化，更利于学生理解定理的本质；定理的发现过程体现数形结合的思想和转化的思想。

（四）函数零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

思考4：会有几个零点呢？ 思考5： f(x)图象连续，f(a)f(b)<0，且＿＿＿＿＿才能使函数f(x)在 (a,b)内有唯一的零点？ 小试牛刀2：判断正误，并说明理由 （1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点。 （ ）

（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续的，且f(a)f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点。 （ ）

（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续的，且存在零点，则f(a)f(b)<0引导学生总结出：

（1）定理中的“连续不断”与f(a)f(b)<0缺一不可 （2）不满足定理条件时依然可能有零点存在

（3）定理反之不成立 【设计意图】：通过正误辨析题对定理中条件的改变，激发学生思考，加深学生对定理的全面理解，培养学生缜密思考和分析问题的思维品质。 （五）函数零点个数的判定： 例1：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数. x 1 f(x)

2

3

4

5

6

7

8

9

总结：该函数的零点与g(x)=lnx，h(x)=-2x+6这两个函数图象有什么关系？ 【设计意图】：

通过例题分析，学会应用零点存在性定理确定零点存在的区间，并进行方法的小结，使学生更深刻地理解转化与化归数学思想在解题中的地位和作用。

（六）拓展练习

小试牛刀3：（学生独立完成，小组讨论结果，代表发言）

(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，

且有如下对应值表，则函数在哪些区间内有零点？

(2)函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ）

A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) (3)方程2x+3x-7=0在下列哪个区间有实根（ ） A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) （七）反思小结（学生畅所欲言谈收获，老师适当补充）

1、一个概念：函数的零点

2、一个定理：函数零点存在性定理

4、三种题型：求函数的零点；确定函数零点所在区间；判断函数零点的个数

3、三种思想：函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想

（八）学以致用

作业:课本88P，练习1；92P，A组2;练习册

（九）板书设计（黑板左侧书写知识框架，右侧是学生演练区）

谢谢专家指导！