阅读与思考 集合中元素的个数优质课教案内容

§1.1

集合的含义及其表示方法

教学目标：理解集合的含义，知道常用数集及其记法；

初步了解属于关系和集合相等意义，初步了解集合的分类及性质；

初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．

教学重点：集合的含义及其表示方法．

教学过程：

一、问题情境

１．蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔；茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水里，一群鱼在自由的游泳；……鸟群，羊群，鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合．

２．在初中学习数的分类时，已接触过“正数的集合”、“负数的集合”，集合这一概念在数学中被广泛运用，集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确地表述数学对象．那么，我们不禁要问：集合的含义是什么？

二、学生活动

１．让同学介绍自己的家庭、现在的班级等情况．

２．问题：像“家庭”、

“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？

三、建构数学

１．集合的含义：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成成为一个集合（set）．集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）．

如“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素就是北京、上海、天津、重庆这四个城市．

“Young中的字母”

构成一个集合，该集合的元素就是y,o,u,n,g这五个字母．

“book中的字母”

也构成一个集合，该集合的元素就是b,o,k这三个字母．

2x13x2，所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集．

方程x3x20x1或2，1与2组成的集合称为方程的解集．

自然数的集合 0，1，2，3，……

２．集合中的元素的性质

讨论归纳：确定性、互异性、无序性

介绍数学家

专门研究集合的理论叫做集合论，康托尔（G.Cantor）是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．（阅读材料）

３．集合的表示：

①常用大写拉丁字母表示集合：集合A，集合B（引进记号是为了表述和运算的方便）

②常用数集及其记法：

自然数集（即非负整数集）

记作：N

整数集

Z

正整数集

N或N

有理数集

Q

实数集

R

③表示集合的方式：

列举法：如｛北京，上海，天津，重庆｝．（优点以及局限性讨论）

2

｛北京，上海，天津，重庆｝＝｛天津，重庆，北京，上海｝（集合相等的意义）

描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，写成xp(x)用文恩（Venn）图

说明：一个集合可以有不同的表示形式．如：

４．关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A，记作aA，相反，a不属于集A

记作aA．举例，2R,2Q．

５．集合的分类：

有限集（finite set）

无限集（infinite set）

空集

四、数学运用

１．例题

例１．求不等式2x35的解集．

例２．求方程xx10所有实数解的集合．

２．练习

作为练习，可以讨论Ｐ7练习4 五、总结反思

拓展延伸：

１．记关于x的方程kx3x20的解集为A，若A中的元素

有且只有一个，求k值．若A求k值．

２．集合{3,x,x2x}中的元素x应满足什么条件？

３．若集合A中的元素均可表示成形如ab2(其中aZ,bZ)

的形式，判断下列三个对象与集合A之间的关系：

（１）0；（２）222的形式；如：

121；（３）132

４．设集合A中的元素为实数，且满足aA1A，且1A．

1a（１）若2A，求A；（２）A能否为单元素集？若能，把它求出来；

1A．

a11分析：（１）2A得1A，得A得2A，因此A{2,1,}

2212（２）A能否为单元素集，则a，即aa10无解，因此不可能．

1a11A，再代入可得1A．

（３）aA1aa（３）证明：若aA，则1

六、练习与作业：Ｐ7练习题1，2，3

阅读材料

集合论的创立与康托尔的遭遇

19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔（G.Cantor，1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。

集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔是凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的。他发现了许多简直难以置信的事情。

康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开始，柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论，并把极限理论的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又该是什么呢？康托尔试图用集合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。

出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量关系。他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有理数和所有整数之间是一一对应的，平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界里，整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外，无穷集合并不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而，无穷集合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。那么，有没有一个最大的集合呢？康托尔通过研究，否定了这个想法。因为每个已知集合的所有子集所构成集合，其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数，当然也没有最大的集合。无穷世界里的这些性质，初看起来，真是令人头晕目眩。甚至康托尔本人在创立集合论的过程上，也时时感到心神不定。他写信给数学家戴德金说：“我见到了，但我不相信”。然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑根据的。并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的重要作用。实践使康托尔坚定了信心，更加勇敢地前进。他在提出超限基数和超限序数的过程中说：“我确实不知道，什么能够限制我们这种形成新数的活动，只要可以说明，为了科学的发展，引入一这种无穷的新数对于研究是需要的或者是不可少的”。

康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。德国数学家克隆尼克是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。

克隆尼克比康托尔年长22岁。当康托尔还是柏林大学的学生时，克隆尼克已经是在这个学校任教的著名数学家了。克隆尼克在数学上，特别是在高等代数方面有很多贡献。然而他一有个坏毛病，就是习惯于用刻薄的语言无情地攻击所有和他意见不一致的数学家。虽然康托尔是他的学生，但由于集合论的内容同他的主张大相径庭，所以克隆尼克简直到了不能容忍的程度。他认为，康托尔关于超限数的研究，是一种非常危险的数学疯病。因而他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金很微薄，几次想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。但由于克隆尼克横加阻挠，使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。

除了克隆尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家彭加勒说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。有些数学家如施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。

在克隆尼克等人的围攻和反对下，康托尔的精神逐渐崩溃了。他天性神经过敏，容易激动，经受不了这种暴风雨般的攻击。尽管有希尔伯特等著名数学家赞同他的集合论，尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功，仍未能使康托尔感到欣慰和满足。从1884年春天起，即在他40岁的时候，他患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安。1918年，他在哈勒大学附属病院去世。

康托尔的结局是悲惨的。英国科学史家E．T．贝尔回顾这段往事时说，克隆尼克认为集合论的出现是一种数学疯病。然而被送进病院的并不是集合论而是康托尔。克隆尼克的攻击实际上打垮了这一理论的创造者。一位数学家为自己创立的理论付出这样大的代价，这种事情在数学史上还是不多见的。

集合论出现之后，很快在数学研究中，特别是在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了明显作用，他们为什么视不见泥？这里固然有性情和学术品质方面的因素，但主要的也是思维方法上的原因。这些人中的绝大多数，持有和克隆尼克一样的观点，认为任何数学对象必须能用有限步骤从自然数构造出来。而无穷集合不符合这个要求，那就不应成为数学研究的对象，当然集合论也不是数学。他们头脑中很可能有着捍卫数学理论严格性和纯洁性的良好愿望。但他们不是把实践作为判断数学对象现实性和数学理论真理性的标准，却主观武断地为数学研究划出一条人为界限，要把所有不能用构造方法获得的数学理论，不仅是集合论，还有很大一部分数学分析理论，都统统排斥在数学领域之外。希尔伯特曾指出，克隆尼克的方案是要把我们的科学肢解，使它残缺不全。如果我们接受这种“改革办法”，就要失去我们最有价值的宝藏的大部分。他说：“没有任何人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中清除出去”。他所说的“乐园”就是指集合论。事实证明希尔伯物是对的。