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人教版数学必修1知识点总结

1.3函数的基本性质——抽象函数专题

一、定义域问题

1．已知y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域为

,值域为

.

2．若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x的定义域

11)f(x)44

3．已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域．

4．已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域．

二、求值问题

1．已知定义域R的函数f(x)，同时满足：①f(2)=1，f(6)=

2．设函数f(x)定义在实数集上，对任意实数x，y，f(x+y)=f(x)f(y)恒成立，且存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，则f(0)=

．

3．若函数f(x)是R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)+f(2)，则f(14)等于

(

) A．

0

B．

2

C．

4

D．

14 1；②f(x·y)=f(x)+f(y)，求f(3)，f(9)的值. 54．已知函数f(x)定义在正整数集上，且满足f(1)=2 015，f(1)+f(2)+…+f(n)=n2f(n)，则f(2 015)=

．

三、单调性

1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是(

) A．

增函数且最小值为-5

B．

增函数且最大值为-5 C．

减函数且最小值为-5

D．

减函数且最大值为-5 2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，则不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集1

为

．

3．设f(x)定义在实数集上，当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x，y，有f(x+y)=f(x)·f(y)，求证：f(x)在R上为增函数．

4．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0

(1) 求证：f(0)=1，且x<0时，f(x)>1；(2) 求函数f(x)在[a，b]上的最值．

5．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)=x(x-2)．

(1) 求f(-1)，f()的值；(2) 写出f(x)在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[-3，3]上的单调性．

52

四、奇偶性

1．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，那么f(x)在(-∞，0)上是(

) A．

增函数

B．

减函数

C．

增函数或减函数

D．

无法判断增减性

2．已知函数f(x)(x∈R且x≠0)对任意不等于零的实数x1，x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，试判断函数f(x)2

的奇偶性．

3．已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f(a·b)=af(b)+bf(a)，试判断函数y=f(x)的奇偶性．

五、综合性问题

1．已知奇函数f(x)为定义在区间R上的减函数，且满足：若有f(1x)f(12x)0成立，则实数x的取值范围是___________________．

2．定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(x)f(x)．若f(1a)f(1a)0恒成立，则实数a的取值范围是___________________．

3．函数f(x)是定义在(0,)上的增函数，且满足f(ab)f(a)f(b),f(2)1，解不等式：2f(x)f(x2)3．___________________．

4．若函数f(x)是定义在(0,)上的减函数，且f()f(x)f(y)，若f(3)1，解不等式：xyf(x)f(

1)2．___________________．

x85．函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)1,f(xy)f(x)f(y),f(x)是减函数．

3

（1）证明：f(1)0；

（2）若f(x)f(x3)2成立，求x的取值范围．

6．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足以下两个条件：①对于任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2．求函数f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值．

7．已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，当x>1时，f(x)>0．

(1) 求证：f(x)是偶函数；(2) 求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数．

8．已知函数yf(x)的定义域为R，对任意x,yR，均有f(xy)f(x)f(y)，且对任意x0都有f(x)0,f(3)3．

（1）试证明：函数yf(x)在R上是单调函数；（2）判断yf(x)的奇偶性，并证明；

（3）解不等式f(x3)f(4x)2；

（4）试求函数yf(x)在m,n(mn0且m,nz)上的值域．

4

人教版数学必修1知识点总结

1.3函数的基本性质——抽象函数专题

一、定义域问题

1．已知y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域为

,值域为

.

【答案】(,1](1,)，(,1](1,3)

2．若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x的定义域

11)f(x)44【解析】要使函数有意义，必须：

151x14x4131x1x44∴函数yf(x343x3

54443

4113)f(x)的定义域为：x|x4443．已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域．【答案】

[0，1]．

4．已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域．【答案】5,2）

2二、求值问题

1．已知定义域为正实数集的函数f(x)，同时满足下列条件：①f(2)=1，f(6)=求f(3)，f(9)的值. 【解析】取x=2，y=3，得f(6)=f(2)+f(3)，因为f(2)=1，f(6)=又取x=y=3，得f(9)=f(3)+f(3)= 1；②f(x·y)=f(x)+f(y)，514，所以f(3)= . 558．

52．设函数f(x)定义在实数集上，对任意实数x，y，f(x+y)=f(x)f(y)恒成立，且存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，则f(0)=

．

【解析】令x=y=0，得f(0)=[f(0)]2，即有f(0)=0或f(0)=1．若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，

对任意x∈R均成立，这与存在实数x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1．

3．若函数f(x)是R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)+f(2)，则f(14)等于

(

A

) A．

0

B．

2

C．

4 D．

14 4．已知函数f(x)定义在正整数集上，且满足f(1)=2 015，f(1)+f(2)+…+f(n)=n2f(n)，则f(2 015)=

．

5

【解析】由f(1)+f(2)+…+f(n)=n2

f(n)，

得n≥2时，f(1)+f(2)+…+f(n-1)=(n-1)2f(n-1)，

两式相减得f(n)=n2f(n)-(n-1)2f(n-1)(n≥2)，

变形得f(n)n1(n2)

f(n1)n1f(n)123f(n1)345n12，

n1n(n1)由f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(3)所以f(n)2f(1)1，故f(2015)=．

1008n(n1)三、单调性

1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是(

B ) A．

增函数且最小值为-5

B．

增函数且最大值为-5 C．

减函数且最小值为-5

D．

减函数且最大值为-5 2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，则不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集为

．

【解析】因为f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，所以f(9)=f(3)+f(3)=2．又f(x)+f(x-8)≤2，得f[x(x-8)]≤f(9)．因x0为函数f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，所以x80，得8

3．设f(x)定义在实数集上，当x>0时，f(x)>1，且对任意实数x，y，有f(x+y)=f(x)·f(y)，求证：f(x)在R上为增函数．

【证明】在f(x+y)=f(x)f(y)中取x=y=0，得f(0)=[f(0)]2．

若f(0)=0，令x>0，y=0，则f(x)=0，与f(x)>1矛盾，所以f(0)≠0，即有f(0)=1．

当x>0时，f(x)>1=f(0)；

当x<0时，-x>0，f(-x)>1=f(0)．

而f(x)·f(-x)=f(0)=1，所以f(x)10．所以对任意的x∈R，恒有f(x)>0．

f(x)设任意的x1，x2，且x10，f(x2-x1)>1，

所以f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)f(x2-x1)>f(x1)，所以y=f(x)在R上为增函数．

6

4．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x>0时，0

(1) 求证：f(0)=1，且x<0时，f(x)>1；(2) 求函数f(x)在[a，b]上的最值．

【解析】(1) 令m=0，n=1，则f(0+1)=f(0)·f(1)，

因为当x>0时，00，所以f(0)=1．

当x<0时，-x>0，则f(-x+x)=f(-x)·f(x)，所以f(x)(2) 任取x1，x2∈R，且x1

f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]f(x1)．

因为x2-x1>0，所以0

又因为f(x1)>0，所以[f(x2-x1)-1]f(x1)<0，故f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)是R上的单调减函数，

故函数f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．

5．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)=x(x-2)．

(1) 求f(-1)，f()的值；(2) 写出f(x)在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[-3，3]上的单调性．

【解析】(1) f(-1)=kf(1)=-k．因为f()kf()，所以f()f(0)11．

f(x)f(x)52125252111113f()(2)．

k2k224k1(2) 因为对任意实数x，f(x)=kf(x+2)，所以f(x-2)=kf(x)，所以f(x)=kf(x-2)．

当-2≤x<0时，0≤x+2<2，f(x)=kf(x+2)=kx(x+2)；

当-3≤x<-2时，-1≤x+2<0，f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4)；

11当2≤x≤3时，0≤x-2≤1，f(x)=kf(x-2)=k(x-2)·(x-4)．

k2(x2)(x4),3x2kx(x2),2x0故

f(x)x(x2),0x2

1(x2)(x4),2x3k因为k<0，所以f(x)在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1]上为减函数．

四、奇偶性

1．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，那么f(x)在(-∞，0)上是(

A

) 7

A．

增函数

B．

减函数

C．

增函数或减函数

D．

无法判断增减性

2．已知函数f(x)(x∈R且x≠0)对任意不等于零的实数x1，x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，试判断函数f(x)的奇偶性．

【解析】取x1=-1，x2=1得f(-1)=f(-1)+f(1)，所以f(1)=0．

取x1=x2=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0．

再取x1=x，x2=-1，则f(-x)=f(-1)+f(x)，即f(-x)=f(x)．

又因为定义域是关于原点对称的，所以f(x)为偶函数．

3．已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f(a·b)=af(b)+bf(a)，试判断函数y=f(x)的奇偶性．

【解析】令a=b=1，则f(1·1)=1·f(1)+1·f(1)，得f(1)=0．

令a=b=-1，则f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1)，得f(-1)=0．

令a=-1，b=x，则f[(-1)·x]=(-1)·f(x)+x·f(-1)，得f(-x)=-f(x)．因此函数y=f(x)为奇函数．

五、综合性问题

1．已知奇函数f(x)为定义在区间R上的减函数，且满足：若有f(1x)f(12x)0成立，则实数x的取值范围是___________________．

2．定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(x)f(x)．若f(1a)f(1a)0恒成立，则实数a的取值范围是___________________．

3．函数f(x)是定义在(0,)上的增函数，且满足f(ab)f(a)f(b),f(2)1，解不等式：2f(x)f(x2)3．___________________．

4．若函数f(x)是定义在(0,)上的减函数，且f()f(x)f(y)，若f(3)1，解不等式：xyf(x)f(1)2．___________________．

x85．函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)1,f(xy)f(x)f(y),f(x)是减函数．

（1）证明：f(1)0；

（2）若f(x)f(x3)2成立，求x的取值范围．

【解析】(1)证明：令xy1，则f(11)f(1)f(1)，故f(1)0

（2）∵f(2)1，令xy2，则f(22)f(2)f(2)2，

∴f(4)2

8

f(x)f(x3)2f[x(x3)]f(4)f(x23x)f(4)x23x41x4

∴f(x)f(x3)2成立的x的取值范围是1x3．

6．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足以下两个条件：①对于任意的x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)；②当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2．求函数f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值．

【解析】设0≤x1

因为x2-x1>0，由条件②得f(x2-x1)<0，则f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)

所以f(x)在[0，3]上是减函数．

在条件①中令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0．

再令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，

f(x)在[-3，0]上也是减函数．

又因为当x<0时，f(x)=-f(-x)>0，所以f(x)在[-3，3]上是减函数，

又因为f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6，所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6．

7．已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，当x>1时，f(x)>0．

(1) 求证：f(x)是偶函数；(2) 求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数．

【解析】(1) 令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，所以f(1)=0．

令x1=x2=-1，得f(-1)=0，所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数．

(2) 设x2>x1>0，则，f(x2)f(x1)f(x1x2xx)f(x1)f(x1)f(2)f(x1)f(2)

x1x1x1因为x2>x1>0，所以x2x1，所以f(2)0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

x1x1所以f(x)在(0，+∞)上是增函数．

8．已知函数yf(x)的定义域为R，对任意x,yR，均有f(xy)f(x)f(y)，且对任意x0都有f(x)0,f(3)3．

（1）试证明：函数yf(x)在R上是单调函数；（2）判断yf(x)的奇偶性，并证明；

（3）解不等式f(x3)f(4x)2；

（4）试求函数yf(x)在m,n(mn0且m,nz)上的值域．

解：（1）任取x1,x2R,令x1x2

9

f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1) ………………2分

x1x2,x2x10,又x0时，f(x)0

f(x2x1)0,即f(x2)f(x1)∴f(x)在R上是单调减函数．………… 4分

(2)f(x)为奇函数，令xy0,有f(0)0 ……………… 5分

令yx,有f(x)f(x)f(0)0

f(x)f(x)…………… 7分 f(x)为奇函数

………… 8分

（3）f(xy)f(x)f(y)f(x3)f(4x)f(5x3)[来源:学科网ZXXK]

又f(2)f(2)2f(1)2 ……………… 9分

∴原不等式为：f(5x3)f(2) ……………… 10分

∵f(x)在R上递减，5x32∴不等式的解集为xx1………… 11分

（4）由题m0,n0f(xy)f(x)f(y),f(3)3f(1)3

f(1)1 又f(n)f(n1)f(1)f(n2)2f(1)nf(1)n ……………… 12分

由（2）知f(x)为奇函数，f(m)f(m)m ……………… 13分

由（1）知，f(x)在m,n上递减，f(x)的值域为n,m

……………… 14分

10