习题3.1优秀教学实录

方程的根与函数的零点

一.教学目标

1．知识与技能

（1）通过课前练习使学生回顾一元二次方程的解法及有解的条件。

（2）通过探究让学生理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.

（3）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.

2．过程与方法

由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.

3．情感、态度与价值观

在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.

二、教学重点与难点分析

重点：解理函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.

难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.

三、教学方法分析

在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.

四、教学过程

教学环节

课前阅读

引入探究

教学内容

对中国古代有关在求根方面的历史介绍

师生互动

设计意图

让学生进入课题

教师介绍，与学生分享中国古代数学文化

1观察下列三组方程与函数方

程

x2–2x–3 = 0 x2–2x+1 = 0 x2–2x+3 = 0 函

数

y=x2–2x–3 y=x2–2x+1 y=x2–2x+3 利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系

2.一元二次方程的根与二次函数的关系对于二次函数y

= ax2

+ bx

+ c与二次方程ax2 + bx + c=0，其判别式△= b2

– 4ac

师生合作师：方程x2

– 2x

–3 = 0的根为–1，3函数y = x2

– 2x

– 3与x轴交于点(–1，0) (3，0)以旧生：x2

– 2x + 1 = 0有两个相等根为1.引新，导入函数y= x2

– 2x + 1与x轴有唯一交点

(1，0).课题

x2

– 2x + 3 = 0没有实根函数y = x2

– 2x + 3与x轴无交点

判别方程ax2 + bx 函数y = ax2 + 式

+ c = 0的根

bx + c与X轴的交点

△＞0 两不相等实根

两个

△=0 两相等实根

△＜0 没有实根

一个

没有

1.零点的概念对于函数y=f (x),称使

y=f (x)= 0的实数x为函数

y=f (x)的零点

小结：.函数的零点与方程根的关系方程f (x) = 0有实数根函数y = f (x)的图象与x轴有交点函数y

= f (x)的零点

师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点。

学生思考：函数yf(x)的零点、方程f(x)0的实数根、函数yf(x)

的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

师：举例说明

判别方程ax2 + bx 函数y = ax2 + 如：判别方程ax+ 函数y = ax式

的根

零点

2 2 式

+ c = 0的根

△=0 两相等实根

△＜0 没有实根

bx + c的零点

一个零点

没有零点

△＞0 两不相等实根

两个零点

bx + c = 0+ bx + c的归纳总结概念形成与理解

△＞两不相等两个零点

0 实根

f(x)0

感知概念函数零点既是对应方程的根，又是函数图象分析特征与x轴交点的横坐标

△＜没有实根

没有零点

零点对于函数而言，根对于方程而言．

0 形成概念

由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求

f(x)0函数y= f(x)的零点.对于不能用公式法求根的函数零点既是对应方程的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联根，又是函数图象与x轴系起来，利用函数的性质找出零点，从而求交点的横坐标

出方程的根. 零点对于函数而言，根对

于方程而言．

由此可知，求方程f(x)=0

的实数根，就是求函数y=

f(x)的零点.对于不能用公

式法求根的方程f(x)=0来

说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.

根

△=0 两相等实一个零点

零点存在定理形成与理解

引导学生回答下列问题（小结）①如何求函数的零点？②零点与图象的关系怎样？

观察二次函数师生合作，学生口答，老师点评，老师举例观察二次函数f(x)x22x3的图象，我们发现函数f(x)x22x3在区间[2,1]上有零点. 计算f(2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘以问题讨论代替老师的讲援

f(x)x22x3

的图象，我们发现函数

f(x)x22x3在区间积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？

观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点x=-1；

f(-2)=5，f(1)=-4，

f(-2)·f(1)<0(“＜”或“＞”)．

在区间(2，4)上有零点x=3；

f(2)·f(4)<0（“＜”或“＞”）．

思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数y=x3-2x2-x+2在区间[a,d]上存在零点？

[2,1]上有零点. 计算f(2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？

观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点x=-1；

f(-2)=5，f(1)=-4，

f(-2)·f(1)<0(“＜”或“＞”)．

在区间(2，4)上有零点x=3；

f(2)·f(4)<0（“＜”或“＞”）．

思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数y=x3-2x2-x+2在区间

④

⑤

⑥

区间(a,b)上,f(a)·f(b)<0(“＜”或“＞”)．

区间(b,c)上,f(b)·f(c)< 0(“＜”或“＞”)．

区间(c,d)上f(c)·f(d) <0(“＜”或”＞”)．

在区间(a,b)上,有(有/无)零点；

在区间(b,c)上,有(有/无)零点；

在区间(c,d)上,有(有/无)零点；

总结提升

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续[a,d]上存在零点？

不断的一条曲线，

并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，

即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

①

区间(a,b)

上,f(a)·f(b)<0(“＜”

或“＞”)．

在区间(a,b)上,有(有/无)零

点；

②

区间(b,c)上,f(b)·f(c)<

0(“＜”或“＞”)．

在区间(b,c)上,有(有/无)零点；

③

区间(c,d)上f(c)·f(d) <0(“＜”或”＞”)．

在区间(c,d)上,有(有/无)零

点；

总结提升

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，

并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，

即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

例1

判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例

（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（

错

）

（2）已知函数y=f (x)在区间则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（

错

）

例1解答：（1）如图：

区间(a,d)内有且仅有一个零点”的说法是错误的. (2)如图：

y

让学生动

手练习，

b

x

加深对概

O

a

念的说

明，培养

可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f (a)·

思维能力

f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。

(3)如图：

y

a

O

b

x

虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<

[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，函数y=f(x)在区间(a,d)上有3个零点,故“在概念理解深化及应用举例和学生课堂训练

（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) <0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（

错

）

提升总结：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点.

变式练习：

若函数y5x27x1在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且函数y5x27x1在(a,b)内

1课堂训练：

零点1x1.函数f(x)x零点的个数是（

C

）

的个数是（

C

）

xA.0

B.1

A.0

B.1

C.2

C.2

D.无数个

D.无数个

2.若函数f(x)2ax2x1在(0,1]内恰有1.函数f(x)x2.若函数f(x)2ax2x1在(0,1]内恰有一个零点，则一个零点，则a的取值范围是（

B

）

A.a1

B.a1

C.1a1

D.0a1

3.函数f(x)x3x1在下列哪个区间有a的取值范围是（

B

）

A.a1B.a1

C.1a1D.0a1

3.函数f(x)x3x1零点（

B ）

A.(2,1)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是在下列哪个区间有零点( B

) (A)(-2,-1)

(B)(-1,0) （

B ）

(C)(0,1)

(D)(1,2)

A.(2,1)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( B

) (A)(-2,-1)

(B)(-1,0) (C)(0,1)

(D)(1,2)

归纳总结

（1）知识方面

零点的概念、求法、判定

学生归纳，老师补充、点评、完善

（2）数学思想方面

师：小结：

函数与方程的相互转化，（1）

找零点的方法：看图、画图、解方程

即转化思想

（2）

转化化归思想和数形结合的思想

借助图象探寻规律，即数形结合思想

分层练习

学生独立完成

回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力

固化知识，提课后作业

升能力