实习作业教案及板书设计

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

第一课时 函数的单调性

三维目标定向

〖知识与技能〗

（1）结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）能利用函数图象理解和研究函数的单调性；

（3）能利用定义判定一些简单函数的单调性。

〖过程与方法〗

借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。

〖情感、态度与价值观〗

渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。

教学重难点

〖重点〗函数单调性的概念。

〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。

教学过程设计

一、问题情境设疑

2引例：画出一次函数f(x)x和二次函数f(x)x的图象。（几何画板）

问题：以上两个图象有什么特征？——“上升”、“下降”

上升：随着x的增大，相应的f

(x)也增大；下降：随着x的增大，相应的f

(x)减小。

二、核心内容整合

1、函数的单调性的概念：

问题：如何用数学语言描述“随着x的增大，相应的f (x)也增大”？——学生探究。

1

增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数。

学生类比得出

减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1 < x2时，都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数。

〖知识提炼〗同增异减

注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)，分别是增函数和减函数。

2、函数的单调性的定义

如果函数yf(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间。

3、基本初等函数的单调性

（1）一次函数f(x)axb(a0)：

当a > 0时，在(,)上是增函数；

当a < 0时，在(,)上是减函数。

y y y o x o y x （2）反比例函数f(x)k(k0)：

xo x 当k > 0时，在(,0)和(0,)上是减函数；

当k < 0时，在(,0)和(0,)上是增函数。

（3）二次函数f(x)axbxc(a0)：

当a > 0时，在[2o x bb,)上是增函数，在(,]上是减函数；

2a2a

2

当a < 0时，在[

bb,)上是减函数，在(,]上是增函数；

y y 2a2ao x o x 三、例题分析示例

例1、如图是定义在区间[–

5，5]上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2、物理学中的玻意耳定律pk（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当V其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。

〖知识提炼〗用定义证明函数的单调性的一般步骤：

（1）取值：设x1 , x2是给定区间上任意的两个值，且x1 < x2；

（2）作差变形：f (x1) –

f (x2)；（变形手段：通分、因式分解、配方、有理化等。）

（3）定号：确定f (x1) –

f (x2)的符号；

（4）判断：当f (x1) < f (x2)时，f(x)是增函数；当f (x1) > f (x2)时，f(x)是减函数。

〖探究〗画出反比例函数y1的图象。

x（1）这个函数的定义域I是什么？

（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。

四、学***反馈：P32练习，1，2，3，4。

五、三维体系构建

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分四步：

取值——作差——定号——判断

六、课后作业：P39，习题1.3，A组1，2，3。

3

教学反思

第二课时 函数的最大（小）值

三维目标定向

〖知识与技能〗

理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。

〖过程与方法〗

借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。

〖情感、态度与价值观〗

渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维观点。

教学重难点

函数最值的意义及求函数的最值。

教学过程设计

一、引例

画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：

（1）f(x)2x3； （2）f(x)x22x1。

1）说出yf(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ y y o x o x

二、核心内容整合

1、函数的最大（小）值的概念

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。那么称M是函数yf(x)的最大值。

学生类比给出函数最小值的概念：

4

设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M。

那么称M是函数yf(x)的最小值。

注意：

（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；

（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。

2、一元二次函数yax2bxc(a)的最值：

b24acb2)（1）配方：ya(x；

2a4a（2）图象：

（3）a > 0时，ymin二、例题分析示例

例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h

m与时间t

s之间的关系为h(t)4.9t14.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

〖知识提炼〗函数的最值与单调性的关系：

（1）f (x)在[a , b]上为增函数，则f (a)为最小值，f (b)为最大值；

（2）f (x)在[a , b]上为减函数，则f (a)为最大值，f (b)为最小值。

例3、已知函数y24acb24acb2；a < 0时，ymax。

4a4a2(x[2,6])，求函数的最大值和最小值。

x1分析：证明函数在给定区间上为减函数。

5

三、学***反馈：P36，练习5。

补充练习：

1、函数f(x)x24ax2在区间 (–

∞，6] 内递减，则a的取值范围是（ ）

（A）a

≥ 3 （B）a

≤ 3 （C）a

≥

– 3 （D）a

≤

– 3 2、在已知函数f(x)4x2mx1在(,2]上递减，在(2,]上递增，则f(x)在[1，2]上的值域是____________。

四、三维体系构建

1、函数的最大（小）值的含义。

2、利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法：

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

（2）利用图象求函数的最大（小）值；

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数yf(x)在x = a处有最小值f(a)，在x = b处有最大值f(b)；

如果函数yf(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数yf(x)在x = b处有最小值f(b)；

五、课后作业：P39，习题1.3，A组5，B组2。

教学反思：

6

第三课时 一元二次函数在给定区间的最值

例1、函数yx24x6,x[1,4]的最小值为 ，最大值为 。

练习：函数yx23x2,x[1,1]的最小值为 ，最大值为 。

一般结论：f(x)ax2bxc(a0),x[m,n]

（Ⅰ）配方，求对称轴xx0；

（Ⅱ）判断xx0是否属于给定区间[m , n]：

①

若x0[m,n]，则yminf(x0)，再求f(m),f(n)，较大者为最大值；

②

若x0[m,n]，则求f(m),f(n)，较大者为最大值，较小者为最小值。

练习（1）求函数yx22x(x[2,4])的最大、最小值。

（2）求函数yx22x(x[1,1])的最大、最小值。

例2、求函数f(x)3(x1)23在区间 [t

– 1 , t + 1] (t ∈R)上的最大值。

42练习（1）（2006年福建高考）求函数f(x)x8x在区间[t

, t

+ 1]上的最大值。

（2）设函数f (x) = 4x– 4ax + (a– 2a + 2)在[0, 2]上的最大值为3，求a的值。

（3）求函数yx2x(x[t,t1])的最大、最小值。

作业：

1、求函数f(x)x8x在区间[t , t + 1]上的最大值。

2、已知函数f(x)x2ax2,x[5,5]。

（1）当a =

– 1时，求f (x)的最值；

（2）求实数a的取值范围，使y = f (x)在[– 5 , 5]上是单调函数。

7 222 2 2

1.3.2 函数的奇偶性

三维目标定向

〖知识与技能〗

结合具体函数了解奇偶性的含义，能利用函数的图象理解奇函数、偶函数；能判断一些简单函数的奇偶性，并利用奇偶性简化一些函数的图象。

〖过程与方法〗

体验奇函数、偶函数概念形成的过程，体会由形及数、数形结合的数学思想，并学会由特殊到一般的归纳推理、论证的思维方法。

〖情感、态度与价值观〗

通过绘制和展示优美的函数图象可以陶冶我们的情操，通过概念的形成过程可以增强我们主动交流的合作精神，并体会到事物的特殊性和一般性的关系，培养我们探究、推理的思维能力。

教学重难点

〖重点〗奇偶性概念的理解及应用。

〖难点〗奇偶性的判断与应用。

教学过程设计

一、问题情境设疑

引例：1、展示中心对称与轴对称的有关实例。

2、观察下列四个函数的图象

（1） （2） （3） （4）

问题：以上图象有什么特征？如何由函数值体现？

二、核心内容整合

1、偶函数的概念

（1）（2）的图象关于y轴对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

8

偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如：f(x)x21，f(x)2、奇函数的概念

（3）（4）的图象关于原点对称，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数。

奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数2。

2x11f(x)就叫做奇函数。

如：f(x)x3x（图象关于原点对称）

注意：

（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则–

x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即

若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)有成立；

若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)有成立。

（4）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

三、例题分析示例

1、函数奇偶性的判断

（1）定义域关于原点对称；

（2）求f(x)，如果f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；

如果f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；

例1、判断下列函数的奇偶数：

（1）f(x)x； （2）f(x)x；

（3）f(x)x4511； （4）f(x)2。

xx9

〖知识提炼〗(x)2nx2n,(x)2n1x2n1

（3）非奇非偶函数：存在x0，使得f(x0)f(x0)且f(x0)f(x0)。

如f(x)2x1

2、奇偶函数图象的性质

（1）奇函数的图象关于原点对称；

反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数。

（2）偶函数的图象关于y轴对称；

反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数。

说明：奇偶函数图象的性质可用于：

（1）简化函数图象的画法；（2）判断函数的奇偶性。

例2、已知函数yf(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象。

拓展：如果函数yf(x)是奇函数，图象又如何？

四、学***反馈：P36，练习

五、三维体系构建

1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，

（1）如果都有f(x)f(x)f(x)为奇函数；

（2）如果都有f(x)f(x)f(x)为偶函数

2、两个性质：

一个函数为奇函数



它的图象关于原点对称

一个函数为偶函数

它的图象关于y轴对称

六、课后作业：P39，习题13，A组6，B组3 教学反思

10 y 0 x

函数的性质及综合应用（2课时）

三维目标定向

〖知识与技能〗

进一步领会函数单调性和奇偶性的定义，并在此基础上，熟练应用定义判断和证明函数的单调性及奇偶性，初步学习单调性和奇偶性结合起来解决函数的有关问题。

〖过程与方法〗

体会单调性和奇偶性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力。

〖情感、态度与价值观〗

体会转化化归及数形结合思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。

教学重难点

函数的单调性、奇偶性的灵活应用。

案例背景

函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，知识内容可浅可深，问题涉及分类讨论、数形结合、探索性，仅用两课时只能作肤浅的介绍，学生掌握的也只是一些皮毛，不能很好地展示函数丰富的内涵。但函数的问题既千姿百态，又有章可循，综合单调性与奇偶性的内容，可以设计出很多具有挑战性的问题，有利于培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，有利于创新思维和实践意识的发展。因此我们设计了《函数的性质及综合应用》这一教学案例，预计用两课时，力图通过种类问题的探究，引导学生领略函数内容的精彩，加深对函数性质的深刻理解。

教学过程设计

第一课时

一、温故知新

1、函数的单调性（概念、判断方法、应用——求函数的最值）；

2、函数的奇偶性（概念、图象特征、判断方法）。

二、问题探究

1、函数单调性、奇偶性的理解及性质的判定

单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，对概念的理解要抓住关键词如“任意”“都有”

11

“给定区间”等，同时要明确两者的区别：单调性是反映函数的局部性质，而奇偶性则反映的是函数的整体性质。

例1、已知f (x) = ax + bx

– 4，若f (2) = 6，则f (– 2) = 。

例2、奇函数f

(x)在x[0,)时的表达式是f

(x) = x

(1 –

x)，则x(,0]时， 3f (x)的表达式为 。

练习：（1）已知f

(x) = ax

+ bx

+ cx

+ 2，若f

(–

7) = 7，则f

(7) = 。

（2）偶函数f

(x)在x[0,)时的表达式是f

(x) = x

(1 +3x)，则x(,0]时，

5

3f (x)的表达式为 。

2、奇偶性与单调性的关系

奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，且有f(x)f(x)f(|x|)成立。

例3、如果偶函数f(x)在区间 [3，7] 上是增函数，且最小值为5，最大值为10，那么f(x)在区间[– 7，– 3] 上的单调性和最值如何？

例4、已知f (x)是偶函数，而且在(0, +∞)上是减函数，判断f (x)在(–

∞, 0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

练习：已知y = f

(x)是奇函数，它在(0, +∞)上是增函数，且f

(x) < 0，问F(x)在(–

∞, 0)上是增函数还是减函数？证明你的结论。

12 1f(x)

第二课时

3、函数性质的应用

函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，运用函数的性质可研究区间、最值的求解，亦可深入研究函数图象的特征。

利用函数的单调性和奇偶性，可以将“抽象”化为具体，使问题简化，这也是等价转化思想方法的重要体现。

例5、若偶函数f (x)在(–

∞, 0)上是增函数，则满足f(1)f(a)的实数a的取值范围是 。

例6、已知函数f (x)对任意x , y总有f (x + y) = f (x) + f (y)，且当x > 0时，f (x) < 0,f(1)

（1）求证：f (x)是奇函数；

（2）求证：f (x)是R上的减函数；

（3）求f (x)在[-3, 3]上的最大值及最小值。

练习（1）已知奇函数f (x)在(– 1, 1)上单调递减，且f (1 - a) + f (1 – 2a) < 0，则实数a的取值范围是 。

（2）设函数f

(x)的定义域为R且x≠0，对任意非零实数x1, x2满足f

(x1x2) = f

(x1) + f (x2)，

（1）求f (1)的值；

（2）判断f (x)的奇偶性。

13

23

例7、如果函数f(x)x2bxc对任意实数t，都有f(3t)f(3t)，那么f(0),f(3),f(4)的大小关系是 。

结论：（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（2）二次函数f(x)ax2bxc的对称轴为x0b，即f(x0x)f(x0x)。

2a〖拓展〗函数y = f (x)的图象关于直线x = t对称的充要条件是：f (t + x) = f (t – x)，即f (x) = f (2t – x)。

例8、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式pf(t)；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Qg(t)；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/10㎏，时间单位：天）

例9、对于函数f(x)，若存在x0，使f(x0)x0成立，则x0称为f(x)的不动点。已知函数f(x)ax(b1)x(b1),(a0)。

（1）当a = 1，b =

– 2时，求函数f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围。

22

14