习题1.2名师教学设计1

函数的表示法

[基本知识]

1．函数的表示方法

函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．

2．应用三种方法表示函数的注意事项

方法

解析法

列表法

图象法

注意事项

一般情况下，必须注明函数的定义域

选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征

注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) 11(1)若f(x)满足f＝x－1，则f(x)＝－1.(

) xx(2)若f(x)＝2x＋1，x∈[1,3]，则f(x－1)＝2x－1，x∈[2,4]．(

) 答案：(1)×

(2)√

二、填空题

1．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________. 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，

依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4，

3a＝6，∴∴23a＋3b＝4，b＝－，

a＝2，3

2则f(x)＝2x－. 32答案：2x－

311x－＝x2＋2，则f(x)＝________. 2．已知x≠0，函数f(x)满足fxx111x－＝x2＋2＝x－2＋2，

解析：fxxx所以f(x)＝x2＋2. 答案：x2＋2 3．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________. 3131317解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(x)＝x＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝. 22222237答案：

3

[典例感悟]

1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．

解析：由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，

2a＝4，a＝－2，a＝2，∴解得或

ab＋b＝3，b＝1.b＝－3

故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1. 答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1 2．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．

解析：法一：设t＝x＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，

∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，

∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，

∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

答案：f(x)＝x2－1(x≥1) 3．已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________．

解析：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，

∴f(y)＝y2＋y＋1，

即f(x)＝x2＋x＋1. 答案：f(x)＝x2＋x＋1 [方法技巧]

求函数解析式的3种方法

待定系数法

换元法

当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式

如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式

如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式

[针对训练]

1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(

) A．f(x)＝|x|

C．f(x)＝x＋1

B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x

解方程组法

解析：选C

选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项C，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．故选C.

2．(2019·南阳第一中学模拟)已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________________________．

解析：因为f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cos x＝t，t∈[0,2]，则cos x＝1－t，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2]．

答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2] 13．已知函数f(x)满足f(x)＝2fx＋x，则f(x)的解析式为________________．

11＝2f(x)＋1，

解析：由f(x)＝2f＋x，得fxxx联立得1＝2fx＋1，

②fxx21－x. 3x31fx＝2fx＋x，

①

2①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋，

x则f(x)＝－21答案：f(x)＝－－x

3x3

分段函数

[基本知识]

1．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

2．分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)分段函数是两个或多个函数．(

) x，x≥0，(2)若f(x)＝f(a)＋f(－1)＝2，则a＝1.(

) －x，x<0，答案：(1)×

(2)×

二、填空题

2x，x>0，1．若f(x)＝则f(－5)＝________. fx＋2，x≤0，

解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2. 答案：2 log2x，x>0，1的值是________．

2．(2019·西安质检)已知函数f(x)＝x则ff43＋1，x≤0，

11解析：由题意可得f＝log＝－2，

2441＝f(－2)＝3－2＋1＝10. ∴ff4910答案：

9x＋2，x≤2，3．函数f(x)＝4若f(x0)＝8，则x0＝________. x，x>2.52解析：当x0≤2时，f(x0)＝x0＋2＝8，即x20＝6，∴x0＝－6或x0＝6(舍去)；

2

4当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10. 5综上可知，x0＝－6或x0＝10. 答案：－6或10