探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系多媒体教学设计及其点评

互为反函数的函数图象间的关系

环县第四中学 张亮亮

一、学情分析：

从基础知识的角度看，学生在前面已经学习了函数的定义、对指数函数和对数函数的定义和性质、并且知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，因此具备了学习该部分内容的基础。但由于高一学生还没有全面的适应高中的学习，观察归纳能力还有待提高，所以有必要让学生参与实践，用几何画板演示由特殊到一般的动态过程，发现规律，总结特点、归纳方法，让学生亲身经历探索认知过程。

二、教学目标：

1.知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图象间的关系，并能运用这一关系，由已知函数的图象作出反函数的图象。（2）了解证明两个函数图象关于已知直线对称的方法。

2.过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图象间的关系，培养学生观察比较，归纳猜想的能力。通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。借助几何画板直观演示，同时渗透树形结合思想。

3.情感态度与价值观：通过图象的对称变换使学生感受到数学的对称和谐之美，激发学生学习的兴趣，养成

勇于探索，大胆猜想，严谨论证的良好思维习惯。

三、重难点：

重点：互为反函数的函数图象间的关系。

难点：证明互为反函数的函数图像关于直线y=x对称。

四、教学流程：

创设情境 提出问题 典例精讲 习题精练 总结反思

引入新课 探究问题 深化概念 巩固新知 布置作业

五、教学过程：

(一)创设情境，引入新课

利用幻灯片播放生活中的对称图形的图片让学生欣赏，并提出问题你们看到大多数是关于X轴和Y轴对称的图形，那在数学中有没有关于直线y=x对称的函数图像呢？

师生活动：教师提问，学生思考，回答。

设计意图：目的在于联系生活，激发学习兴趣为课题引入做好准备。

（二）提出问题，探究问题

xxy2ylog2问题1：指数函数与对数函数的性质，指数函数与对数函数互为什么函数？

师生活动：教师提问，学生思考，回答。

设计意图：让学明确反函数的定义及求法为本节课的探究学习做好基础知识的准备。

问题2：那么这种互为反函数的函数图像间是什么关系呢？

师生活动：揭示主题，

本节课我们就来探究发现一下互为反函数的函数图像间的关系。

设计意图：揭示主题。

问题3：请在同一直角坐标系中画出指数函数y2和对数函数ylog2的图像，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？

xx

师生活动：教师巡视，发现学生的问题，协助学生解决问题，观察学生的思维活动，投映学生作品并用几何画板演示。

设计意图：亲自动手体验成功的喜悦。

问题4：如何证明指数函数y2和对数函数ylog2关于直线y=x对称。

师生活动：在y2上任取一个点关于直线y=x对称，证明它在ylog2上，在xx上任取一个点关于直线y=x对称，它在y2上。

ylog2xxxx师生活动：特殊验证，取y2图像上的几个点，如P1,2.20,1，P311,,PxxP1,P2,P3关于直线yx的对称点在ylog2的图像上吗？

12

设计意图：学生独立思考，合作，探究，交流，讨论，展示分享，体验证明规律要由特殊到一般。

x问题5：如果任意点P0x0,y0 在指数函数y2

上，那么

关于直线

yx的x对称点在ylog2

的图像上吗？为什么？（几何画板演示）

师生活动：从几何画板上观察、发现x对称点在ylog2的图像上。

P0x0,y0不论如何移动，它关于直线yx的

设计意图：学生观察、发现，结合图形来分析问题，学生独立思考后小组交流展示。

问题6：由上述探究过程可以得到什么结论？

师生活动：学生自己总结结论。如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函数,那么它们关于 y=x 对称。

设计意图：引导学生，得出结论。

问题7：如何证明指数函数y2

和对数函数ylog2关于直线y=x对称

？

x0师生活动：

如果点P0x0,y0在函数y2图像上，y02成立，所以xxx'y0xyx成立，即关于直线的对称点在反函数Px,yyloglogPy,x0002的图000x02像上，反之也成立。

设计意图：教师启发诱导学生自己证明结论，体现数学的严谨，必须理论与实践有机结合。

x于指数函数yaxa0,且a1及其反函数ylogaa0,且a1也成立吗？为什么？

x问题8：指数函数y2x和反函数ylog2的图像关于直线y=x对称，这个结论对xx0师生活动：如果点P0x0,y0在函数yaa0,且a1图像上，y0a成立，所以'xy0ylogayx成立，即关于直线的对称点Px,ylogP0000y0,x0在反函数x0a的图像上,反之也成立。

设计意图：结论的推广。

（三）典例精讲，深化概念

2yx,x(0,)的图象，再利用对称关系画出它的反函数图象。

例1 画出函数

例2 已知函数ylog2x

的反函数是

yf1(x)，则yf1(1x)

的图象是

解析：由题意知f1(x)2则f(1x)2xx11x2(x1)12x1所以1yf(1x)的图象可由y的图象向右平移1个单位而得到,故选（C）。

21评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线yx对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x对称，这种函数称为自反函数。

师生活动：学生独立思考，交流，展示。

设计意图：巩固所学知识，使学生灵活的应用所学性质解决问题。

（四）习题精练，巩固新知

练习1：

点(1，2)既在y=ax+b的图象上，又在它的反函数图象上，求实数a、b。

练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么y=f(x)–1的图象过点____。

分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f(x)的图像过点（2，1），而y=f(x)–1的图像是由y=f(x)的图像向下平移1个单位得到的，故y=f(x)–1的图象过点（2,0)。

师生活动：学生练习，教师巡视，发现学生的问题，帮助学生解决问题。

设计意图：（1）反馈教学目标达成情况；（2）再次体现反函数的图象性质应用的快捷；(3)培养学生利用不同渠道去了解和学习数学知识，培养学生的应变能力。

（五）课堂小结

现在请大家对本堂课的内容进行小结：

1、

这节课你学习了哪些内容

-1-1-1-1-1

知识总结：如果函数y=f(x)在其定义域内存在反函数,那么它们关于 y=x 对称。

思想总结：由特殊到一般的思想，数形结合的思想（包括知识、思想、方法）

2、你还有什么困惑？

师生活动：教师启发诱导学生说出收获，总结教师补充。

设计意图：让学生对整堂课有一个全面系统的认识，回忆反函数图象特点，形成一个总结反思的能力。

(六)课后作业

x-1已知函数 f(x)ab

的图像经过点（1，3），且它的反函数f(x)的图像过点（2，0），求f(x)。

六、课后反思：

1.本节课基本完成了教学任务，是一节让学生做动手动脑的课堂。本节课比较成功之处就是做到了以学生为主体，让学生自主探究得出结论，引课时，采用了生活中的实例，使学生在一开始就对本节课充满学习兴趣；在学生画出了图象后让学生从直观认识到观察总结再到理论证明，充分培养学生的观察归纳能力，体会数学由一般到特殊，由实践到理论，体现数学严谨的特点。

2. 本节课也有一定的不足，就是语速较快，个别薄弱学生跟不上，需要在课后单独辅导。新课改后，对教师的挑战很大，应该引导到什么程度有时候还把握不到位，这是我在这节课中存在的问题。

我以后要多学习，用高标准来要求自己。