探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系第二课时教案

反函数

教材分析：

反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分。

本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识

本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开

由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握

教学目的：

.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数

.使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系

.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。

教学重点：

.反函数的定义及理解

.反函数的求法

教学难点：

.反函数的定义及理解

.求解反函数注意原函数与反函数的关系。（特别是反函数的定义域）

授课类型：新授课

课时安排：课时

教学过程：

一、问题引入：

.画出yx2(x0)的图像。

.思考y2学生活动及设计说明

学生动手画图，并提出问题？yx的图像。猜想分析二者关系：

x在yx(x0)，反解该式得x2y,x0xy，该函数图像和当我们将x,y互换后得到yx，即图像关于yx对yx2(x0)一样，称，我们得到y

二、讲解新课：

x的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？

的图象不会画，思考怎么画？想办法解决。（从学生自己的经验建构知识，更易激发学生的求知欲）

（分钟）

反函数的定

反函数的定义

一般地，设函数yf(x)(xA)的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到(). 若对于在中的任何一个值，通过()，在中都有唯一的值和它对应，那么，()就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数() ()叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作xf1(y),习惯上改写成yf1(x)

书上的两个例子：记为f(t)vt，则它的反函数就可以写为f样y2x6记为f(x)2x6，则它的反函数为：f11(t)t，同v(x)x3. 2探讨：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数yf(x)来说，不一定有反函数，如yx2,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，yx2,x[0,)有反函数是yx

探讨：互为反函数定义域、值域的关系

从映射的定义可知，函数yf(x)是定义域到值域的映射，而它的反函数yf1(x)是集合到集合的映射，因此，函数yf(x)的定义域正好是它的反函数yf1(x)的值域；函数yf(x)的值域正好是它的反函数：

yf1(x)的定义域f[f1(x)]x,f1[f(x)]x（如下表）

定义域

值

域

探讨：yf1函数yf(x)

反函数yf

1(x)

(x)的反函数是？

1若函数yf(x)有反函数yf(x)，那么函数yf1(x)的反函数就是yf(x)，这就是说，函数yf(x)与yf1(x)互为反函数

三、讲解例题：

例．求下列函数的反函数：

3①y3x1(xR)；

②yx1(xR)；

③yx1(x0)；

④yy1

32x3(xR,且x1). x1解：①由y3x1解得x义可以直接从学生的疑惑中提出，这是我们解决问题的又一方法。

给学生解释概念后，用探讨的方式让学生自己清楚注意点，学生学会在问题中反思。

（分钟）

对概念分析到位，有助学生解题时的严谨性

求反函数是本课的重点，例、①②③④问可以让学生自己在解题后归纳一

∴函数y3x1(xR)的反函数是yx1(xR)，

3②由yx31(xR)解得3y1,∴函数yx31(xR)的反函数是y3x1(xR)

③由x解得(y1)2,∵，∴. ∴函数y④由yx1(x0)的反函数是(y1)2

(); 2x3y3解得x∵{}，∴{} x1y22x3x3(xR,且x1)的反函数是y(xR,x2)

x1x2∴函数y小结：

⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明

⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到

⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射

例．求函数

y11x2（<<）的反函数

解：∵<<

∴

<

∴<1x2<

∴

<

< 2由：y11x2解得：x2yy

(∵<

<

) 22∴y11x2(< < )的反函数是：y2xx2(<< ) 例．已知f(x)x(≥),求f21(x). 244y，∵≥，∴，即2解法：（步骤）令x，解此关于的方程得x21y①,

（步骤）∵≥，由①式知1y≥，∴≥②, （步骤）由①②得f21；

(x)1x（≥，∈）2解法：（步骤）令x(x1)，∴(x1)，

∵≥，∴≥，∴1y①,即1y,

（步骤）∵≥，由①式知1y≥，∴≥, 2般步骤。

（分钟）

先让学生出错再更正，加深学生印象

注意：在求解反函数时原函数的定义域很重要，反函数的定义域只能通过原函数的值域来确定。

（分钟）

对二次函数求反函数注意：.配方法或求根公式（也是一种方法）.开方取正负中的一个，根据原函数的定义域取舍。

（分钟）

（步骤）∴函数f(x)x(≥)的反函数是f21；

(x)1x（≥）说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求，也可以用配方法求，但开方时必须注意原来函数的定义域. 四、课堂练习：课本练***基训：

五、小结

本节课学习了以下内容：

．反函数的定义及其注意点、求法步骤

．求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明

互为反函数的两个函数有什么关系：

反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到

六、思考：

互为反函数的两个函数图像间有什么关系？（可从函数的性质入手思考）

七、课后作业：课本习题

课堂练习

（分钟）

学生小结，学生自己回顾

（分钟）

八、板书设计

反函数

一、问题引入

二、反函数定义：

探讨：

探讨：

探讨：

三、求解反函数的步骤

一解、二换、三注明

例．

例．

例．

四、课时小结

九、课后反思：

注意：.学生思考问题时在问题设计上再注意引导

.在解题过程中，多给学生思考时间。

附：教学设计说明

教材分析：

反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分

本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识

本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开

由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，

并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握

学生分析

：

对于高一的学生在初中学习基础上已建构起的一次函数、二次函数及反比例函数，这些都是具体的函数，在高中学生接触了函数的更进一步的概念，也开始研究函数的一般性质——单调性、奇偶性。所以对于函数来说他们主观上需要有更多的函数来补充，需要更多的概念来联系所学的知识。于是反函数对于学生来说来的是很及时的，再加上难度上不及函数单调性和奇偶性，所以学生学习起来也会觉得必要和轻松。而且由学生熟悉的二次函数入手，由问题yx的图像引入，学生能有兴趣和求知欲，并且便于建立知识联系。

设计思想：

在对学生和教材进行分析后，主要设计目的是让学生在反函数的第一节概念课中能了解反函数学习的必要性和重要性。

抓住概念课的特点，通过个探讨解释说明并强化学生对概念的理解，学生也在这样的探讨过程中不仅了解了反函数是什么？也更了解了反函数的警戒点。当然仅仅理解概念是远远不够的，所以紧接着通过例，让学生思考在求解反函数的过程中注意每一步在考察反函数的什么？通过例题学生总结求解反函数的过程。例故意让学生犯错，然后纠正，例进一步强化概念及求反函数的方法。最后让学生练习总结。

第一课学生应该还会遗留一些关于原函数与反函数图象之间的疑问？所以在最后可以让学思考原函数与反函数图象之间的关系。为下一课做准备。

反馈调控预设：

在该课的设计中，由于学生参与活动较多，所以在几个环节上有预设：

1.

探讨时，学生回答不准确。考虑多请两位学生，这样就可相互补充，又让更多的同学参与。

2.

例题讲解时，有的请学生来故意犯错，但是学生如果不犯错怎么办？我认为板演的学生请一位老是做题不严谨的，如果没有错，就请另一位同学来判断正误，并讲解该同学的做题思路，这样学生自己解决自己的问题

3.

在时间安排上，加入的练习量可以控制。

学生表现反映：

在问题思考过程中较为积极，回答也较准确。在问题引入后求知欲也很强烈，但在动手解题时，有部分同学不动手，认为题目简单，于是请这些同学板演，也暴露出学生的问题，刚好给学生强调易错点。

反思改进：

.学生思考问题时在问题设计上再注意引导，特别在问题的描述上注意准确，在回答方向上对给以提示。

.在思考、讨论和解题过程中，多给学生思考时间，学生在讨论时注意多听取几个学生的意见。

.在学生给出自己的回答时，应注意言语上的鼓励。

.在最后给学生布置思考问题时更应该明确些，否则学生也没有思考方向。

虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。

快乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！

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