实习作业教学设计及课堂实录

1.3.1函数的单调性教学设计

(睢县回高 数学组 李德国)

一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。

二、教学目标设置: （一）知识与技能：

1.用准确的数学语言归纳增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义；

2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间

3.并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；. (二)情感与价值目标

创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心. 四、重难点: 重点：1. 函数单调性的概念；2.判断和证明函数的单调性. 难点：理解函数单调性的概念

五、教学策略分析: 1. 多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引入提供了必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入新课; 2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，问题作引导，引发积极思考；

观感受; 3.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性. 六、教学过程:

（一）创设情境,引入新知

第一,先观察一个图形(函数) (通过多媒体给出北京今年10月1日气温变化曲线图) T

（℃）

4035

3025(4，25.1）(14，36.8）

20

1510

5

024681012141618202224t(h)师：同学们和我一起来观察北京今年10月1日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t,温度为T,这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？

（学生回答，教师结合学生回答追问：如果设时间t为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函数的定义域及它的对应关系）

【设计意图】回归函数定义，教师总结：该曲线反映了气温T随时间t的变化规律，在区间[0,24]内每给一个时间t的值，根据图象都有唯一确定的温度T与之对应，是一个函数. 师：观察图象，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温变化规律吗？

(学生独立思考5秒后回答) 预案:⑴当天的最高气温,最低气温及何时达到;⑵某些时段温度升高,某些时段温度降低

（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内一部分一部分地研究，你又会发现什么规律？学生补充）

师：归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性——引出课题，板书课题）

师归纳:抛开实际背景,从函数观点看,它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化,函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单调性,这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号语言对单调性进行代数刻画. 【设计意图】生活情境引入新课,可以激发学生的学习兴趣,让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标.

（二）探索归纳,建构定义

第二,进一步研究

观察下列函数图象，（师：根据我们刚刚对“函数单调性的初步讨论”）说出函数的变化规律. ①f(x)x②f(x)x1③f(x)x2(图象见课件) (学生回答图象变化趋势并描述函数的变化规律，参照学案内容) 【设计意图】 1.由图象认识增函数与减函数,直观且易于学生接受；2. 为单调函数定义中关键词“区间上”作铺垫；3.让学生初步体会数形结合的思想. 探究一：

问题1:根据上面的描述,对比函数f(x)x与f(x)x2在区间(,)上的变化规律,说出它们的不同点? (学生独立思考5秒后回答) 预案: 函数f(x)x在整个定义域上都是增函数, f(x)x2是在定义域内的区间(0,)上是增函数

师追问:如果要定义增函数,应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢?(学生答) 师归纳:单调性应与定义域内的区间相对应. 问题2:请归纳函数f(x)x,f(x)2x1在其定义域上和函数f(x)x2在区间(0,)上的共同特征,并试着用符号语言表述“函数f(x)在定义域内某区间D上是增函数”.(学生独立思考5秒后回答出共同特征后，进入小组合作探究——如何用符号语言表述“函数f(x)在定义域内某区间D上是增函数”) 预案:增函数的共同特征:在定义域内某区间D上,函数值随自变量的增大而增大;（此处不同小组进行符号表述，但学生描述可能不准确，如：

在区间D上,取两个自变量值x1,x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称函数yf(x)在区间D上是增函数.）

【设计意图】由特殊到一般,归纳得到增函数定义.(此时定义还需进一步完善)

第三步:产生认知冲突: 2（-，）讨论：“在函数f(x)x的定义域上，取两个自变量值x11,x22，由2f(x)f(x)f(x)x（-，）12x1x2,计算得到相应的函数值，则称函数在上是增函数”，这种说法对吗？为什么？ (学生独立思考5秒后回答) （-，）预案:⑴在定义域上不是增函数（举反例如x13，x22）;⑵在(0

,)上x1,x2取特殊值;⑶x1,x2取特殊值不具有代表性，任意取,才能代表区间上的所有值. 师生合作:归纳得到增函数定义（此处增函数定义得到完善，师完善板书) 【设计意图】定义中学生对x1,x2“任意性”的理解，教师应给以适时的点拨：区间上的值有无数多个，是取不完x1,x2取值的“任意性”是关键点，也是学生理解的难点问题，为了帮助

的，因此应该取任意值，不可由特殊值来代替. （三）严格定义，理解概念

（多媒体给出定义）增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为Ｉ

如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数

师：有了增函数的定义,请你具体谈谈你对“f(x)x2在区间(0

,)上是增函数”是怎样理解的？（幻灯片给出该问题）

预案：对定义域: 研究函数性质，首先应该在定义域内研究; 对区间:针对(0

,)这个区间, 单调性与定义域内区间相对应,是局部概念;两个自变量的取值的任意性,代表了区间上所有值; 自变量变化与相应函数值变化的一致性. 师：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？

【设计意图】让学生通过类比，归纳概括出减函数定义. (师:用多媒体给出减函数定义：一般地，设函数f(x)的定义域为Ｉ

如果对于定义域Ｉ内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数（decreasing function）) (师用多媒体给出：如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.) 教师应提出：函数f(x)x在整个定义域内都是单调的，而函数f(x)x在其定义域(

,)内不单调，只在区间(0

,)上单调。

问题3：回到前面引课时的气温曲线，说出函数的单调区间，并指明函数在相应区间上是增函数还是减函数. 【设计意图】让学生正确表达单调区间以及函数在相应区间上的单调性.

（师：检测学生对定义的理解情况.）

巩固练习：判断下列说法是否正确,并结合定义说明理由. (1)对于定义域内的区间D,若任意x1,x2D,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数. （ ）

变式：函数f(x)在D上增函数，若任意x1,x2D,

f(x1)f(x2)，则有x1______x2

(2) 对于定义域内的区间D,任意x1,x2D，都有(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，则函数在D上是增函数. ( ) 2

【设计意图】深化学生对定义的理解,进一步巩固概念. 有了定义，我们对函数的单调性有了什么新的认识：单调性反映了在定义域内某个区间上随我们借助图象可以直观感知单调性,但无法操作，而且并不是所有函数的图象都很简单，如果我们目前画不出图象怎么办（教师举例f(x)x1x）而单调性的定义，则为我们用代数法严格证明单调性提供了依据.这就要求我们能够利用定义证明函数的单调性，

（四）知识应用

探究二：

例1：用定义证明:函数f(x)2x1在其定义域上是增函数. (师生合作完成如下步骤:⑴用区间表示定义域；⑵取值（突出“任意性”）两个不等的自变量值x1,x2，(预案:以下有学生完成:不妨设x1x2；将自变量值x1,x2代入到解析式得到相应函数值f(x1)，f(x2)（师问：如何比较f(x1)，f(x2)的大小呢?）希望获得f(x1)，f(x2)的什么关系，结论是什么.) 【设计意图】让学生学会如何分析问题，并初步体会用定义法证明单调性的过程中逻辑的严密性和言必有据；增强了学生运用代数法描述单调性的信心.

1在定义域(,0)(0,)上是减函数”这个说法正确吗？并说明理x1由.(补充写出函数f(x)的单调区间(见课件)) x能力提升：“函数f(x)预案⑴函数在(,0)和(0,)都是减函数，所以在其定义域是减函数是正确的;⑵举反例，取1，所以在(,0)(0,)是减函数是错误的. 21师：对学生判断做出评价，并指出函数f(x)在定义域内的区间单调但在定义域上并不单调. xx11,x22，f(1)1f(2)【设计意图】通过学生之间的交流，举出反例，使学生能够正确理解单调性与区间相对应，并能正确书写函数的单调区间. (师补充作业:用定义证明函数f(x)1(,0)(0,)在和都是减函数(课后完成))

x (五)课堂小结：本节课你有哪些收获? (学生交流本节课学习过程中的体会和收获,师生合作共同完成小结) 1.函数单调性的定义

2.用定义证明函数单调性的方法和步骤:取值,作差变形,判定符号,下结论;